Математические способности пригодятся детям в учебе и взрослой жизни – это понимают большинство родителей. А сможете ли вы сходу ответить, какую пользу математика приносит лично вам?
На LogicLike.com дети развивают логическое мышление и способности к математике. Взрослые поддерживают мозг в тонусе и совершенствуют интеллект.
Сможете ли вы доступно объяснить ребёнку, для чего ему нужно заниматься математикой? Ведь изучение понятий, законов математики и логики, решение математических и логических задач требует умственных усилий. А зачем вообще это нужно?
Мы изучили ряд научных исследований, и выделили реальные доказательства пользы от занятий математикой.
Даже если вы убеждены, что жизнь вашего ребенка не будет связана с математикой, рекомендуем все равно прочитать нашу статью, чтобы как минимум с легкостью ответить на вопросы маленького «почемучки».
Математика не нужна!
1. Математика развивает мышление
Изучая математику и решая задачи, ребёнок учится:
- обобщать и выделять важное;
- анализировать и систематизировать; и устанавливать причинно-следственные связи;
- рассуждать и делать выводы;
- мыслить логически, стратегически и абстрактно.
Как регулярные спортивные тренировки «прокачивают» тело, делают его здоровым, сильным и выносливым, так регулярные занятия математикой «прокачивают» мозг – развивают интеллект и познавательные способности, расширяют кругозор.
2. Занятия математикой тренируют память
Ученые из Стэнфордского университета в США изучили процесс решения человеком математических задач и выяснили, что взрослые люди используют для этих целей мышление и доведенный до автоматизма навык «доставать» из памяти уже имеющиеся там ответы.
Дети до 7 лет часто прибегают к помощи пальцев рук и ног, а также различных заменителей (реальных предметов, счетных палочек). В «переходный период», в возрасте от 7 до 9 лет, у школьников формируется «взрослый» навык «думания», осмысления и запоминания информации.
Интересное исследование было опубликованно в журнале «Nature Neuroscience» в 2014 году. В первую очередь, оно было посвящено изучению роли гиппокампа (области в головном мозге) в развитии познавательной активности детей. Но его косвенные выводы таковы:
- если хотите, чтобы у ребенка в школе не было проблем с математикой – тренируйте память в раннем возрасте;
- решение математических задач развивает память.
3. Математика закаляет характер
Для правильного решения математических и логических задач нужны внимательность, настойчивость, ответственность, точность и аккуратность.
Чем регулярнее ребенок тренирует эти «мышцы характера», тем сильнее они становятся, тем чаще помогают ребенку в решении не только учебных задач, но и жизненных проблем.
Зачем нужна математика в повседневной жизни
ЛогикЛайк – подходящая платформа для тренировок по 20-60 минут в день. Решайте задачи, участвуйте в олимпиадах по логике и математике, развивайте волю к победе и умение побеждать!
Мы создаём и простые, и олимпиадные задачи, которые хочется решать:
4. Музыка для математики, математика – для музыки
Комплексное исследование, проведенное Барбарой Хелмрич (Barbara H. Helmrich) из Колледжа Нотр-Дам в Балтиморе, выявило, что дети, которые играли на музыкальных инструментах в средней школе, ощутимо лучше успевают по математике в старших классах.
Ученые обнаружили, что за решение алгебраических задач и обработку музыкальной информации отвечает один и тот же участок головного мозга.
«Наибольшая средняя разница в результатах по алгебре между любыми двумя группами испытуемых была обнаружена между афроамериканскими «инструментальными» группами и группами «немузыкальных» школьников».
Парадоксально, но ученые как будто не интересовались обратной связью.
Ведь если за развитие математических и музыкальных способностей отвечает один и тот же участок головного мозга, не исключено, что занятия математикой улучшают музыкальные способности.
Вспоминается Шерлок Холмс, который был одновременно превосходным сыщиком и талантливым скрипачом. Многие скажут, что знаменитый английский сыщик – просто выдумка, но у него был свой реальный прототип, наставник и друг Артура Конана Дойла. Страстным скрипачом был и величайший физик Альберт Эйнштейн.
5. Математика помогает преуспевать в гуманитарных науках
Именно ранние математические способности – верная предпосылка к тому, что в дальнейшем ребенок будет не только хорошо понимать математику, но и преуспевать в других школьных дисциплинах. Далее по значимости вклада в учебные успехи идут навыки чтения и способности управлять своим вниманием.
К таким выводам пришли ученые в области образования и социальной политики Северо-Западного университета в Эванстоне. В ходе исследования они оценивали связь ключевых элементов готовности к школе (базовые навыки для приема в школу — «академическая» готовность, внимание, социально-эмоциональные навыки) с дальнейшими успехами в учебе.
Математика – наука междисциплинарная, она тесно связана с физикой, географией, геологией, химией. Социология и экономика неотделимы от математики, и многие выводы даже привычно гуманитарных наук, таких как лингвистика, журналистика, опираются на математические модели и понятия, математические и логические законы.
6. Развивает навыки решения бытовых задач
Барбара Оакли, доктор технических наук, исследователь стволовых клеток мозга и автор книги «Думай как математик» подчеркивает:
«Математика избавляет нас от «магического мышления» – мы стремимся вникнуть в суть вещей и не полагаемся на авось и высшие силы».
Чем сложнее становятся математические задачи, тем больше навыков требуется для их решения. Ребенок учится рассуждать, выстраивать последовательности, продумывать алгоритмы, жонглировать сразу несколькими понятиями, и эти навыки входят в привычку.
Благодаря математике мы избавляемся от вредных привычек:
- не домысливаем, а оперируем только точными терминами;
- не просто механически запоминаем информацию и правила, а оцениваем ее, анализируем, размышляем, чтобы понять и усвоить новый материал, новый жизненный урок.
7. Математика – основа успешной карьеры
Если 10-15 лет назад перспективным считалось изучение иностранных языков, то сейчас свободным владением несколькими языками никого не удивишь. Теперь профессиональная востребованность во многом зависит от понимания технологий, умения мыслить, абстрагироваться и способностей к решению нестандартных задач. Крайне сложно обойтись без знания математики тем, кто хочет работать в сфере IT.
Абстрактное, критическое и стратегическое мышление, аналитические способности, умение выстраивать алгоритмы – «мастхэв» для хорошего разработчика.
ТОП 5 гибких навыков. Источник: amazonaws.com
Результативные занятия математикой придают уверенность в себе, ведь успехи в ней требуют упорства в стремлении решить самые сложные, иногда, на первый взгляд, «неразрешимые» задачи и проблемы.
Проверьте свои силы: Математические головоломки вам в помощь: 9 отборных известных задач на сообразительность. Сколько сможете решить?
8. Решение задач вырабатывает психологическую стойкость
Решение математических задач помогает улучшить эмоциональный фон – это занятие способно избавить от тревоги, помогает контролировать эмоции и предупреждает стресс.
К таким выводам пришли ученые из Университета Дьюка в США, которые сумели доказать это в исследовании, опубликованном в журнале «Клиническая психология» в 2016 году.
9. Удовольствие от «икс»
Для человека, серьёзно занимающегося математикой, математические формулы, уравнения и другие логические и математические задачи воплощают собой красоту, гармонию и доставляют такое же эстетическое удовольствие, как музыка, искусство и хорошая шутка, утверждает группа исследователей из нескольких университетов Великобритании.
С помощью функциональной магнитно-резонансной томографии была зафиксирована активность мозговой деятельности испытуемых во время демонстрации им математических уравнений, формул и задач. Результаты исследования опубликованы в журнале «Границы человеческой нейробиологии» (Frontiers in Human Neuroscience) в 2014 году.
Как научиться испытывать радость и наслаждение от занятий математикой рассказывает известный американский математик, выпускник Гарвардского университета, Стивен Строгац. Преподаватель прикладной математики, обладатель наград в области математики и преподавания на страницах своей книги «Удовольствие от X» с энтузиазмом, просто и понятно объясняет самые значительные математические идеи.
Попробуйте занятия логикой и математикой на LogicLike.com!
Мы убеждены, что детям, особенно в возрасте 5-9 лет, не обязательно рассказывать, как важно изучать математику. Гораздо важнее дать возможность ребёнку окунуться в мир занимательной интерактивной математики.
Обучаясь на платформе LogicLike, дети решают интересные логические задачи, зарабатывают за правильные ответы свои первые награды-«звезды», играют в современные логические игры – и получают не только пользу, но и настоящее удовольствие от такой математики.
Источник: logiclike.com
VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2014
Геодезия – одна из древнейших наук («geodesy» греч. в переводе на русский язык означает «землеразделение»). Геодезия — область отношений, возникающих в процессе научной, технической и производственной деятельности по определению фигуры, размеров и внешнего гравитационного поля Земли, координат и высот точек земной поверхности и их изменений во времени, проводимой в целях составления карт и планов, а также для обеспечения решения различных инженерных задач на земной поверхности.
А с другой стороны — это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией, математическим анализом, классической теории потенциала, математической статистикой, и вычислительной математикой. Изначально в геодезии все берется из математики. Геодезия и геометрия долго взаимно дополняли и развивали друг друга.
Историческую связь в первоначальных эпохах их развития между геодезией и геометрией показывает слово «геометрия», которое в переводе с греческого означает «землеизмерение». Поэтому геодезию иногда называют практической геометрией и землемерием.
Развитию и совершенствованию методов геодезических работ способствовали научные достижения в области математики, физики, инструментальной техники. Открытие Ньютоном закона всемирного тяготения привело к выводу, что Земля, хоть и имеет шарообразный вид, но сплюснута вдоль оси вращения и приближается к фигуре, называемой эллипсоидом вращения, или сфероидом.
Топографические карты необходимы для государственного планирования и размещения производственных сил, на проектирование инженерных сооружений, при разведке и эксплуатации природных богатств, градостроительстве, организации сельскохозяйственного производства, при выполнении мелиоративных работ, землеустройстве, лесоустройстве и т.д. Геодезические измерения обеспечивают соблюдения геометрических форм и элементов проекта сооружения как в отношении его расположения на местности, так и в отношении внешней и внутренней конфигурации.
Даже после окончания строительства производятся специальные геодезические измерения, имеющие целью проверку устойчивости сооружения и выявления возможных деформаций во времени под действием различных сил и причин. Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошёл от латинского слова «триангумом», что означает «треугольник». В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы с вами уже изучили, и сегодня будем закреплять и применять. В геометрии рассматриваются две типичные геодезические задачи: определение высоты объекта и определение расстояния до недоступной точки.
Основные различия и соответствия между математикой и геодезией.
В математике принята левая система прямоугольных координат с нумерацией четвертей против хода часовой стрелки.
В геодезии принята правая система прямоугольных координат с нумерацией четвертей по ходу часовой стрелки.
Полярная система координат. Здесь r называется длиной радиус-вектора, а φ –полярным углом. Если совместить полюс с началом декартовой системы координат, а полярную ось с положительным направлением оси абсцисс, то каждая точка плоскости М имеет две различные координаты: в декартовой системе координат Оху – М(х; у) и в полярной системе координат – М(r; φ). Тогда зависимость между этими координатами точки М осуществляется по формуле х=rcosφу=rsinφ . Отсюда можно вывести и обратную зависимость:
Положение точки m относительно полюса О и полярной оси ОХ определяется двумя величинами: углом β и расстоянием D.
Определение неприступных расстояний.
Фалес, древнегреческий ученый, стоя на побережье, определил на каком расстоянии остановился корабль.
На побережье через точку А проходит прямая l, которая перпендикулярна прямой линии АВ. АВ⊥l.
Измеряя отрезок АС=а откладываем его.
Построим середину отрезка АС точку D. На прямой l от точки С проведем перпендикулярную прямую и она пересекается с продолжением прямой DВ в точке Е. Тогда Х=АВ=СЕ=d.
Для определения длины такой линии на одном из ее концов, в месте, удобном для линейных и угловых измерений, выбирают две вспомогательные линии в1, в2, называемые базисами. В каждом из двух полученных треугольников измеряют базисы и по два прилежащих к ним угла β1β5β11 и β5
. Неприступное расстояние S вычисляют дважды по теореме синусов
Углы β при точке 6 вычисляют как дополнение до 180̊ суммы измеренных углов в каждом треугольнике.
Если расхождение между двумя вычисленными по формулам значениями S не более 11000(или 12000, 13000), то за окончательное значение принимают среднее из этих величин. При выборе базисов следует соблюдать требования:
углы лежащие в треугольниках против базисов, должны быть не менее 20̊;
углы в треугольниках при базисах должны быть не менее 40̊.
Чтобы изобразить объемный предмет на плоском чертеже, применяют метод проекций. К простейшим проекциям относятся центральная и ортогональная проекции.
При центральной проекции проектирование выполняют линиями, исходящими из одной точки, которая называется центром проекции. Пусть требуется получить центральную проекцию четырехугольника ABCD на плоскость проекции P; центр проекции – точка S.
Проведем линии проектирования до пересечения с плоскостью проекции, получим точки a, b, c, d, являющиеся проекциями точек A, B, C, D. Плоскость проекции и объект могут располагаться по разные стороны от центра проекции; так при фотографировании центром проекции является оптический центр объектива, а плоскостью проекции – фотопластинка или фотопленка.
При ортогональной проекции линии проектирования перпендикулярны плоскости проекции. Проведем через точки A, B, C, D линии, перпендикулярные плоскости проекции P; в пересечении их с плоскостью P получим ортогональные проекции a, b, c, d соответствующих точек.
Чтобы изобразить на бумаге участок земной поверхности, нужно выполнить две операции: сначала спроектировать все точки участка на поверхность относимости (на поверхность эллипсоида вращения, или на поверхность сферы) и затем изобразить поверхность относимости на плоскости. Если участок местности небольшой, то соответствующий ему участок сферы или поверхности эллипсоида можно заменить плоскостью и считать, что проектирование выполняется сразу на плоскость.
При проектровании отдельных точек и целых участков земной поверхности на поверхность относимости применяется горизонтальная проекция, в которой проектирование выполняют отвесными линиями.
Пусть точки A, B, C находятся на поверхности Земли. Спроектируем их на поверхность относимости и получим их горизонтальные проекции – точки a, b, c. Линия ab называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением линии местности AB и обозначается буквой S. Угол между линией AB и ее горизонтальной проекцией AB’ называется углом наклона линии и обозначается буквой ν.
Расстояния Aa, Bb, Cc от точек местности до их горизонтальных проекций называются высотами или альтитудами точек и обозначаются буквой H (HA, HB, HC); отметка точки – это численное значение ее высоты. Разность отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h: hAB = HB – HA.
В геодезии используют 2 основные задачи. Вычисление координат пунктов плановых геодезических сетей связано с решением прямой и обратной геодезических задач.
При решении прямой геодезической задачи известны координаты начальной точки, горизонтальное проложение и дирекционный угол направления. Требуется определить координаты конечной точки, т. е.
Работы выполняемые при помощи провешивания прямых и измерения длин.
Применение приемов провешивания прямых и измерения расстояний на местности даст возможность выполнения ряда работ на местности, обходясь без измерения углов. Сюда относятся некоторые случаи измерения недоступных расстояний построением равных или подобных треугольников, построением углов в 60̊, 30̊, 45̊, 90̊, деления угла пополам и съемки плана участка.
Определение расстояния между двумя доступными точками, если расстояние между ними не может быть измерено непосредственно.
Положим, что точки А и В отделены на местности препятствием (здание, болото, лес и т.д.), не позволяющим промерить расстояние АВ непосредственно, но каждая из точек доступна. В стороне от линии АВ выбираем точку С так, чтобы из точки С были видны точки А и В и могли быть измерены расстояния АС и ВС. При помощи провешивания продолжают прямые АС и ВС на расстояния СЕ=АС и СД=ВС.
Тогда в силу равенства треугольников неизвестное расстояние АВ=ДЕ и может быть измерено непосредственно. Используя свойство средней линии треугольника, можно отложить КС=12АС;CL=12BC и тогда АВ=2KL. В старших классах можно применить этот способ, используя подобие треугольников, откладывая CN=1nAC и СМ=1nBC;тогда AB=n∙MN.
Определение расстояния до недоступной точки.
Положим, что точки А и В находятся на разных берегах реки и точка А недоступна. Продолжаем прямую АВ провешиванием на произвольное расстояние ВС. Затем провешиваем прямые BF и CE, пересекающиеся в точке D, и откладываем расстояния DF=BD и DE=CD. Точки A и D определяют одну прямую, точки E и F – другую прямую. Находим их пересечение в точке H. Тогда AB=HF и может быть измерено непосредственно.
Действительно, ∆BCD=∆DEF, ∠C=∠E, ∆ADC= ∆DEH, AC=EH, AB=HF.
Деление угла пополам.
Пусть на местности задан угол ВАС положением своей вершины А и направлением сторон АВ и АС. Откладываем на одной стороне произвольные расстояния AD и AE и на другой стороне равные им расстояния AF=AD и AH=AE. Точки D и H и точки F и E определяют две прямые. Находим их пересечение в точке K. Тогда прямая AK является биссектрисой угла BAC.
Действительно, из равенства треугольников AEF и ADH вытекает, что ∠AEF=∠ADH, ∠ADH=∠AFE и ∠EDK=∠KFH. Отсюда ∆DEK=∆FHK, DK=KF, ∆ADK=∆AFK и ∠DAK=∠KAF.
Деление угла пополам может быть выполнено и проще, если применить операцию сгибания мерного шнура и нахождения его середины. Откладываем по сторонам угла два равных отрезка AD и AE, отмечаем мерным шнуром DE (не измеряя длины DE в числовой мере) и сгибанием шнура находим середину DE – точку F. AF является биссектрисой в силу равенства треугольников ADF и AEF.
Если вершина угла A, который требуется разделить пополам, недоступна, но видна, поступают таким образом. На сторонах угла выбирают две произвольные доступные точки (B и C) и считают их вместе с точкой A вершинами треугольника. Одним из предыдущих способов делят пополам два угла с доступными вершинами и находят точку пересечения биссектрис. Эта точка с третьей вершиной треугольника определяет биссектрису недоступного угла.
Задача провести перпендикуляр, проходящий через точку, лежащую на данной прямой, решается еще более простым способом. Пусть требуется восставить перпендикуляр к прямой АВ через точку С. Откладывают на прямой АВ вправо и влево равные расстояния DC=CE и устанавливают в точках D и E вехи. Веревку с петлями на концах набрасывают на вехи в точках D и E и середину веревки оттягивают в точку F. В полученном равнобедренном треугольнике медиана FC будет являться высотой.
В случае, если перпендикуляр надо восставить в конце отрезка, не продолжая его, можно применить такой способ. В конце B отрезка AB и в точке Aустанавливают две вехи. Накидывая на эти вехи петли шнура, оттягивают его за середину в точку C и устанавливают в ней веху. Затем продолжают отрезок AC на величину CD=AC. Угол ABD будет прямым, так как треугольники ABC и BCD – равнобедренные.
Обозначим углы при основании равнобедренного треугольника ABC через α и углы при основании равнобедренного треугольника BCD через β. Тогда из треугольника ABD имеем: 2α+2β=180̊, т. е. α+β=90̊.
Вторая задача – провести перпендикуляр к прямой через точку, не лежащую на этой прямой, решается несколько сложнее. Берут веревку несколько больше величины опускаемого перпендикуляра. Одна петля надевается на веху, установленную в точке F вне прямой, через которую должен быть проведен перпендикуляр.
Вторая петля надевается на вторую веху, и в натянутом положении вторая веха устанавливается на прямой AB, например, в точке D, что проверяется наблюдателем, стоящим за одним из концов отрезка AB. Точно так же устанавливается вторая веха в точке E. Сгибанием веревки по длине, раной DE, пополам находится середина отрезка. Прямая FC⊥AB.
Применив прием восстановления перпендикуляра и понятие симметрии, можно предложить другой способ, интересный с точки зрения приложения геометрических знаний учащихся.
Пусть из точки M надо опустить перпендикуляр на прямую AB. Из произвольной точки C заданной прямой восстановляем перпендикуляр CD и продолжаем по другую сторону прямой на расстояние CE=CD. Находим точку F пересечения прямых AB и MD. Отрезок FE продолжаем и от точки F откладываем FN=FM. Точка N будет симметрична точке M относительно AB, и прямая MN будет перпендикулярна AB.
Действительно, ∆CDF=∆CEF, и отсюда ∠DFC=∠EFC. Тогда ∆MKF=∆NKF и, следовательно, углы при точке K равны.
Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной линией.
Это построение может быть выполнено, используя свойства меридиан и средней линии треугольника. Пусть через точку M требуется провести прямую, параллельную AB. Откладываем AC=CD и AM=ME. В треугольнике ADE находим пересечение двух медиан EC и MD в точке F. Третья медиана определяется точками A и F и ее пересечение с третьей стороной в точке H даст середину этой стороны. MH является средней линией треугольника и параллельна AB.
AC=385м, BC=312м, С=52̊. По теореме косинусов AB2=3852+3122-2∙385∙312∙cos52∘.
Построение треугольников АСD и BCD по стороне и двум прилежащим углам.
Из треугольника ACD находим:
Из треугольника CBD аналогичным образом получаем сторону ВС:
На основе всего изложенного можно сделать следующий вывод: вся геодезия основана на математике.
Список литературы
-
Закон Республики Казахстан от 3 июля 2002 года № 332-II. О геодезии и картографии.
С.П. Глинский, Г.И. Гречанинова, В.М. Данилевич, В.А. Гвоздева, А.И. Кощеев, Б.Н.
Морозов. Геодезия. / М.: «Картгеоцентр» — «Геодезиздат», 1995.
http://www.batkivshchyna.net/geodezia_t3r4part1.html, Геодезия Курс лекций
З.С. Хаимов. Основы высшей геодезии. / М.: «Недра», 1984.
К. Нурсултанов, Г. Накышбекова. Жүлдегерлік жүз есеп./ Алматы: «Таймас», 2009.
Стороженко А. Ф., Некрасов О. К. «Инженерная геодезия» — Москва «Недра», 1993.
Захаров А. И. «Геодезические приборы» — Москва «Недра», 1989.
Знаменский М.А. Измерительные работы на местности./ Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, Москва – 1960.
Источник: scienceforum.ru
Геометрическое определение коэффициента комфортности жилья
В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Геометрическое определение коэффициента комфортности жилья » учениками Нижнеломовского многопрофильного техникума была поставлена и реализована цель выяснить, дом какой формы наиболее комфортен для проживания с точки зрения соотношения объема жилья и его поверхности.
Подробнее о проекте:
В ученической исследовательской работе по математике «Геометрическое определение коэффициента комфортности жилья» автор проводит анализ учебно-методической литературы об истории геометрии и строительства, рассматривает характеристики разных геометрических фигур, а также выясняет особенности применения геометрических норм и правил в строительстве домов.
В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Геометрическое определение коэффициента комфортности жилья» учащимися были выбраны для исследования несколько видов жилищ разных геометрических форм и размеров, определены формулы вычисления объемов и площадей поверхности различных геометрических тел, соответствующих выбранным жилищам. Авторы проекта вычислили коэффициенты комфортности для каждого жилища и выявили жилище наиболее комфортной для проживания формы с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и его поверхности.
Оглавление
Введение
1. Геометрия и строительство.
1.1 Применение геометрии в строительстве.
1.2. Геометрические фигуры и тела в строительстве
1.3. Объемы тел и площади поверхностей.
2. Вычисление коэффициента комфортности жилья разной геометрической формы.
Заключение
Список литературы
Введение
Вся жизнь современного человека проходит в тесной связи с математикой. Современная жизнь людей на столько сложна и многообразна, что им постоянно приходиться совершенствовать свою математическую культуру и постоянно при решении насущных проблем обращаться к математике. Куда бы ни кинул взгляд человек – всюду геометрические объекты, всюду геометрия. К тому же место, где человек проводит большую часть своей жизни, его жилище, тоже имеет определенную геометрическую форму.
А каким должен быть дом современного человека? При строительстве любого дома люди всегда задаются вопросом: «Какой дом лучше?». «Лучше тот, что теплее» – скажут одни, «лучше тот, что красивее или комфортнее» — скажут другие. Но есть ли способ определить – это «лучше»? Попробуем ответить на этот вопрос с точки зрения геометрии.
В последнее время все чаще говорят о том, что мировые запасы природных ресурсов небезграничные, остро стоит проблема энергосбережения. Одним из способов сэкономить тепло является обеспечение жилья наименьшей потерей тепла через его поверхность. Можно существенно уменьшить размеры дома, но человек должен иметь достаточно жилого пространства, чтобы чувствовать себя комфортно. Таким образом, встает вопрос: как достичь сочетания максимально возможного объема жилого пространства при минимальной площади поверхности, через которую может уходить тепло. И сейчас этот вопрос остается для человечества особенно актуальным.
В связи с этим была поставлена цель исследования: выяснить, дом какой формы наиболее комфортен для проживания с точки зрения соотношения объема жилья и его поверхности.
Что определило задачи исследования:
- Выбрать для исследования несколько видов жилищ разных геометрических форм и размеров.
- Определить формулы вычисления объемов и площадей поверхности различных геометрических тел, соответствующих выбранным жилищам.
- Вычислить коэффициенты комфортности для каждого жилища.
- Выявить жилище наиболее комфортной для проживания формы с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и его поверхности.
Объект исследования: использование геометрии в жизни человека.
Предмет исследования: применение геометрии для определения коэффициента комфортности жилья.
Гипотезаисследования: существует жилище определенной геометрической формы, имеющее наибольший коэффициент комфортности для жизни человека.
- наблюдение;
- поиск и отбор информации;
- анализ, исследование, систематизация материала.
Применение геометрии в строительстве
Профессия строителя является очень древней. До наших дней дошло немало сооружений, возраст которых измеряется тысячелетиями. Свой опыт мастера строительного дела передавали из поколения в поколение, в том числе и математические знания. В строительстве никак не обойтись без математики. В современном строительстве роль этой науки непрерывно возрастает.
Специалисты должны создавать и перерабатывать чертежи, тексты, документы, таблицы, формулы; выполнять расчеты площадей различных фигур, объёмов многогранников и тел вращения.
Важно отметить и обратную историческую взаимосвязь: потребности зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним архитектуры, явились одним из стимулов, благодаря которым возникла и сделала первые
шаги геометрия. Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура и строительство. Тесная связь геометрии и архитектуры известна с давних времен. Издревле геометрия считалась одним из разделов архитектуры.
Архитекторы утверждают, что геометрия – это основа архитектурного мастерства. С давних времен люди возводя свои жилища думали об их прочности, удобстве, внешнем виде, устойчивости к погодным и климатическим условиям. Прочность сооружения заключается не только в материале, из которого оно сделано, но и в конструкции, используемой при строительстве.
Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы сооружений являются комбинациями различных геометрических тел.
Геометрические фигуры и тела в строительстве
Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани -параллелограммами.
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Сфера (от греческого — мяч, шар) — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).
Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и кругом основания.
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
Объемы тел и площади поверхностей
Для измерения объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения используются следующие формулы.
Куб: S_(п.п.)=6а^2 ,V=а^3
Призма: S_(п.п.)=2S_o+S_(б.п.) ,S_(б.п.)=P_(o )∙H ,V=S_o∙H
Пирамида: S_(п.п.)=S_o+S_(б.п.) ,S_(б.п.)=1/2 P_(o )∙d ,V=1/3 S_o∙H
Сфера, шар: S_(п.п.)=4∙π∙R^2 ,V=4/3 (∙π∙R)^3
Конус: S_(п.п.)=S_o+S_(б.п.) S_(б.п.)=π∙R∙l ,V=1/3 (∙π∙R)^2∙H
Цилиндр: S_(п.п.)=2S_o+S_(б.п.),S_(п.п.)=2∙π∙R∙H ,V=(π∙R)^2∙H
Вычисление коэффициента комфортности жилья разной геометрической формы
Жилище – место жизни человека, место, где он рождается, растет. Это кров, укрытие, место покоя и порядка. Жилище как центр человеческой вселенной осознается почти повсеместно. Но в зависимости от образа жизни и места на земном шаре оно имеет большую или меньшую значимость для человека. Вместе с этим каждый человек стремится к более высокому качеству жизни, которое зависит от комфортности условий, обеспечивающих жизнедеятельность человека.
Существует зависимость между комфортом нашего дома и его математическими характеристиками: например, объёмом и площадью. Ученые предложили формулу вычисления комфортности жилища: . Здесь V – объём жилища (например, вашей комнаты) и S – полная поверхность жилища. Самым комфортным считается жильё с коэффициентом k = 1.
Геометрия архитектуры окружающих нас зданий разнообразна. Как известно, разные народы строили для себя жилье разных форм, видимо, строители руководствовались известными им принципами. И почему кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну, поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным?
Почему так удобно свернуться «калачиком», когда спишь? Видимо, соотношения формы, объема и площади поверхности тел имеют закономерность, влияющую на степень комфортности. Это можно доказать опытным путем. Вычислим коэффициент комфортности жилья разной геометрической формы.
1. Подавляющее число жилых зданий имеет форму куба или прямоугольного параллелепипеда.
Дано: куб с ребром а.
Найти: коэффициент комфортности к
Решение:1)Найдем объем куба: V=a³
2)Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.=6а²
3)Найдем коэффициент комфортности к=(36π(а^3 )^2)/(〖6а〗^2 )^3 = (36πа^6)/(216а^6 )=π/6 к=0,52 < 1 =>жилье формы куба не очень комфортное!
Дано: жилище формы прямоугольного параллелепипеда с измерениями а=8м, b=4м, с=4м.
Найти: коэффициент комфортности к
1) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда: V= abc =128м³
2) Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.=2(ab+bc+ac)=160 м²
3) Найдем коэффициент комфортности к жилье формы прямоугольного параллелепипеда не очень комфортное!
2. В современном мире существуют здания пирамидальной формы. Причины, по которым человечество древнего мира выбрало для строительства первых высотных зданий форму пирамиды, очевидны. Причина номер один: форму пирамиды подсказала сама природа. Причина номер два: форма пирамиды в строительстве при определенных условиях является самым надежным и крепким сооружением.
Дано: правильная четырехугольная пирамида, а=5 м, H=4 м
Найти: коэффициент комфортности к
1. Найдем площадь основания: Sосн.= а2 =25м²
2. Найдем площадь боковой поверхности: Sб.п.= м²
3. Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.= Sосн.+ Sб.п =72 м²
4. Найдем объём: V= а2 h =33(3)м³
5. Найдем коэффициент комфортности:
коэффициент далек от 1, жилье не комфортное!
3. Чум является универсальным жилищем северных народов. Это переносная конусообразная палатка, форма которой является приспособленной, целесообразной для тундры. Форма конуса делает жилище устойчивым при метелях и сильных ветрах, снег с него легко скатывается. Интересно, как чувствует себя человек в доме конусообразной формы с точки зрения комфортности.
Дано: жилище конусообразной формы h=4м, r =3м.
Найти: коэффициент комфортности к
1) Найдем объем конуса: V=П r2 h =37,68м³
2) Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.= П r2 + П rl =75,36 м²
3) Найдем коэффициент комфортности
К коэффициент далек от 1, жилье не комфортное!
4. Достаточно знаменит дом Константина Мельникова в Москве — шедевр русского авангарда, входящий во все учебники по архитектуре 20 века. Выбор цилиндрической формы архитектор объяснял тем, что в таком пространстве при отсутствии прямых углов полезная площадь намного больше, чем в традиционных зданиях.
Не менее известен «AquaDom» – это 25-метровый аквариум цилиндрической формы из акрилового стекла, построенный вокруг прозрачного лифта. Он находится в отеле «Radisson SAS Hotel» в Берлине. Вычислим коэффициент комфортности проживания в цилиндрическом доме.
Дано: цилиндр, h=3м, R=2м.
Найти: коэффициент комфортности
Решение: Sполн.п. =2ПR(R+Н)=2·П·2(2+3)=20П≈62,8 м2
V= Sосн. · h =ПR²· h=12П≈37,68 м3
5. Рассмотрим несколько примеров вычисления коэффициентов комфортности комбинированного жилья.Жилье – прямоугольный параллелепипед – усеченная пирамида;
Дано: а=6м, в=4м, с=8м, а1= 3м, в1=2, h=3.
Найти: коэффициент комфортности к
Найдём объём и площадь поверхности параллелепипеда:
Найдём объём и площадь полной поверхности усечённой пирамиды
Найдём объём и полную поверхность комбинации тел
V=V1+V2= 234,2 м², S =239,2м², К=36πv2 S³=0,45
Коэффициент комфортности низкий, жилье не комфортно.
Жилье – полусфера – цилиндр.
Найти: коэффициент комфортности к
Решение: Vцилиндра = ПR2h=251,2 м3,
Vполушара = ПR3=133,973 м3, Vтела=385,17 м3.
Sцилиндра = 2ПRh+ ПR2=175,84 м2, Sполусферы = 4ПR2=100,48 м2, Sтела=276,32 м2 К=36πv2S³=0,7949 < 1
Это наибольший из полученных коэффициентов.
6. Современное строительство предлагает дома сферической формы.
Дано: жилье шарообразной формы радиусом R.
Найти: коэффициент комфортности
Решение: Sсферы.=4 πR2, V=(4πR^3)/3,
С помощью математических расчетов получены следующие результаты комфортности жилья таблица 1:
| №п/п | Вид жилья | Коэффициент комфортности, к |
| 11 | Куб | 0,52 |
| 22 | Прямоугольный параллелепипед | 0,45216 |
| 33 | Пирамида | 0,335 |
| 44 | Конус | 0,375 |
| 55 | Цилиндр | 0,648 |
| 66 | Комбинированное: усеченная пирамида и прямоугольный параллелепипед | 0,45 |
| 77 | Комбинированное: полусфера и цилиндр | 0,79 |
| 88 | Сфера | 1 |
Сравним результаты с помощью диаграммы:
Вывод: У всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент. Дом — сфера имеет самый большой коэффициент комфортности. Дом — сфера комфортен для жилья.
Известно, что природа, в отличие от нашего традиционного строительства, не создаёт сложные, немобильные конструкции и технологии.
Идеальной формой, наиболее близкой природе, как известно, является шар. Преимущества и возможности строительства сфер:
Согласно изопериметрической теореме из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар. Это означает, что на шарообразные сооружения нужно материалов меньше, чем на иные.
Прочность сферы обеспечена равномерным распределением нагрузок на все точки поверхности. Она превосходно работает на сжатие и на изгиб.
Сфера является наилучшей формой от ветровых и снеговых нагрузок.
Создание сферы отличает минимальная материалоемкость, трудоемкость и длительность возведения.
Сферическая форма сама по себе является энергосберегающей, к тому же она изготавливается практически бесшовной, что минимизирует теплопотери, и снижает затраты на устройство отопительной системы.
Отсутствие арматуры в стенах.
В сферических сооружениях нет углов, где обычно застаивается воздух, их легче проветривать.
Легкость и прочность сфер обуславливает целесообразность их строительства в сейсмически опасных районах.
Сферу значительно сложнее разрушить взрывами, даже пробитая в одном или нескольких местах, она не теряет своих конструктивных способностей и не «складывается».
Можно создавать сферические многоярусные городские структуры, используя минимальные площади под фундаменты, развивая пространственные композиции.
Все вокруг математика! Все вокруг геометрия! И в самом деле — всюду геометрия. Современная цивилизация — это Цивилизация Математики, Геометрии. С помощью геометрии в данной работе исследуется степень комфортности жилья в зависимости от его геометрической формы. Как известно сегодня дом это совсем не роскошь, а настоящая необходимость, причем порой довольно острая.
При этом современное жилье с каждым годом претерпевает все более ощутимые изменения, совершенствуясь в своей комплектации и получая все новые и новые возможности.
Исследование подтвердило гипотезу: жилье сферической формы имеет высший коэффициент комфортности. Таким образом, цели и задачи исследования достигнуты.
Очевидно, в скором будущем преимущества сферы будут использованы в архитектуре, и новые города будут содержать дома — сферы, полусферы в комбинации с цилиндрами. Тенденции к округлости форм уже налицо в автомобилестроении, оформлении интерьеров, не заставят себя ждать они и строительстве жилья.
Практическое значение творческой работы. В работе выполнен расчет коэффициента комфортности для различных видов жилья. Решение этой задачи может иметь важнейшее практическое значение и может быть использовано в дальнейшем в архитектуре и строительстве.
Эта работа может быть использована для мотивации к изучению геометрии для студентов первого курса, а так же в рамках недели математики на внеклассных мероприятиях.
Так какой же дом лучше? Безусловно, для каждого человека лучше тот дом, в котором он вырос или живет сейчас. И в этой работе была предпринята попытка сделать маленький шаг навстречу возможности проектировать и строить эти дома уютнее и комфортнее.
Источник: tvorcheskie-proekty.ru