Интерполяция — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
В научных и инженерных расчетах часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путем или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Например, известны некоторые значения функции — физической величины, замеренные через 1 ч. Необходимо найти значения в промежутках через 30 мин.
Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить ее значение в нескольких точках, а по ним построить, т. е. интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция, но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Сплайн функция. Идеология построения
Наиболее часто встречающимся видом точечной аппроксимации является интерполяция. Пусть задан дискретный набор точек х (/ = 0, 1, . п), называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции у, в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую через все заданные узлы.
Таким образом, критерием близости функции является gt) = у,-. В качестве функции g(x) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом. В том случае, если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.
В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, можно вычислить значения функции f(x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции f(x) даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).
Пусть имеется п значений х,, каждому из которых соответствует свое значение у,. Требуется найти такую функцию F, что:
- • Xj называют узлами интерполяции’,
- • пары (х,, у,) называют точками данных’,
- • разницу между соседними значениями (xi — х;_,) называют шагом;
- • функцию F(x) — интерполирующей функцией или интерпо- лянтом.
Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в некоторых точках восстановить ее значения в остальных точках отрезка. Функция F называется интерполирующей, точки х0, Ху, х2, . хп — узлами интерполяции.
Будем искать функцию F в виде многочлена степени п:
Интерполяция. Тема
Можно найти коэффициенты а„ / = 0, 1. п, при этом получим систему из (п + 1) уравнения с (п + 1) неизвестными
Эта система имеет единственное решение, так как по нашему предположению все х, различны. Решая эту систему относительно неизвестных а0, а, . ап, получим аналитическое выражение многочлена.
Описанный прием можно использовать при решении задач интерполирования, но на практике используют другие более удобные и менее трудоемкие методы.
Источник: studref.com
Интерполяция и экстраполяция
Экстраполяция и интерполяция относятся к статистическим методам прогнозирования. Прогнозирование — это определение ориентирных размеров явления в будущем, распространение выявленной закономерности на другие периоды времени. При прогнозировании явления решаются следующие проблемы:
1) определение длины базисного периода, закономерность которого распространяют на будущее;
2) определение длины будущего периода, на который распространяют обнаруженную закономерность.
Экстраполяция — метод прогнозирования, который предполагает, что закономерность развития, действовавшая в прошлом, сохранится и в прогнозируемом будущем.
Существуют следующие способы экстраполяции данных:
1) если для измерения основной тенденции производилось аналитическое выравнивание ряда динамики, то для экстраполяции используется уравнение тренда, в которое подставляются значения t в будущие периоды. Так как в базисном периоде уровень колеблется около тренда, то колебания вероятны и в будущем. Следовательно, фактический уровень в будущем не обязательно точно совпадает с экстраполированным по тренду;
2) экстраполяция на будущее средней абсолютной или относительной скорости изменения уровня. Этот метод основан на предположении о равномерном изменении уровня:
а) если в базисном периоде цепные показатели динамики не имели резких колебаний, экстраполяцию осуществляют с помощью следующих формул:
, где y’i+t — экстраполируемый уровень; i — номер конечного уровня базисного периода, за который рассчитаны
или
; t- срок прогноза; б) если цепные показатели динамики в базисном периоде сильно колебались и ежегодный прирост (или темпы роста и прироста) вычислялись на базе средних уровней, рассчитанных за равные периоды, то для экстраполяции используют следующие формулы:
Интерполяция — это определение неизвестного уровня внутри динамического ряда.
При интерполяции предполагают, что выявленная тенденция и ее характер, существенно не изменялись в том промежутке времени, уровень которого неизвестен. Существуют следующие способы интерполяции данных:
1) на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста. Формулы для интерполяции имеют следующий вид:
, где у- интерполируемый уровень; yi_t — базисный уровень, использованный при расчете Дили
;
— длина промежутка времени между годом, для которого делается интерполяция, и базисным годом;
2) если, кроме конечного и базисного уровней, известны также некоторые промежуточные уровни, интерполяцию можно осуществить на основе уравнения тренда.
ИЛИ
Интерполяция– способ определения неизвестных промежуточных значений динамического ряда.
Интерполяция заключается по существу в приближенном отражении сложившейся закономерности внутри определенного отрезка времени – в отличие от экстраполяции, которая требует выхода за пределы этого отрезка времени.
Экстраполяция– метод определения количественных характеристик для совокупностей и явлений, не подвергшихся наблюдению, путем распространения на них результатов, полученных из наблюдения над аналогичными совокупностями за прошедшее время, на будущее и т. д.
Средний уровень ряда динамики характеризует типичную величину абсолютных уровней.
Источник: studopedia.ru