Если ударить по стеклянной или металлической чаше, то она будет издавать затухающий со временем звон. В мире без демпфирования этот звон продолжался бы вечно. В реальности же, благодаря нескольким физическим процессам, кинетическая энергия и (потенциальная) энергия упругой деформации чаши переходят в другие формы энергии. В этой статье мы обсудим, как описывать демпфирование в моделях и какие физические явления его вызывают затухание в вибрирующих механических системах.
Как математически описывается демпфирование?
Есть несколько математических подходов к описанию и учету демпфирования. Давайте кратко резюмируем самые популярные из них.
Самое заметное проявления демпфирования — падение (затухание) амплитуды свободных колебаний со временем, как, например, в случае с «поющей» чашей. Скорость ослабления амплитуды зависит от того, насколько большое демпфирование в системе. Обычно амплитуда колебаний экспоненциально затухает со временем. В таком случае потери энергии за период пропорциональны амплитуде колебаний (на этом периоде).
Что такое демпфер в амортизаторе, зачем нужны демпферы. Как устроен амортизатор автомобиля и мото
Классическая «поющая» чаша. Изображение предоставлено Sneharamm0han — собственное произведение. Доступно по лицензии CC BY-SA 4.0 на Викискладе.
Давайте начнем с уравнения движения для системы из одной степени свободы с вязким трением в отсутствии внешних нагрузок.
Разделив на массу m, мы получим отнормированное уравнение, которое обычно записывают в виде
Здесь omega_0 — это собственная частота недемпфированных колебаний, а zeta — относительный коэффициент демпфирования (damping ratio).
Чтобы движение было периодическим, относительный коэффициент демпфирования должен оставаться в диапазоне 0 le zeta < 1. Амплитуда свободных колебаний в этой системе будет падать пропорционально множителю
где T0 — период колебаний без затухания.
Затухание свободных колебаний с тремя разными значениями относительного коэффициента демпфирования.
В данном контексте существует еще один часто используемый критерий — это логарифмический декремент δ. Это логарифм отношения амплитуд в двух последовательных периодах:
Связь между логарифмическим декрементом и относительным коэффициентом демпфирования следующая:
Еще одним случаем, когда эффект демпфирования играет ключевую роль, является возбуждение в конструкции гармонических колебаний на частоте, близкой к собственной частоте системы. При точном резонансе амплитуда колебаний будет стремиться к бесконечности, пока не будет учитываться демпфирование. Фактическая амплитуда в резонансе фактически определяется величиной такого демпфирования.
Частотный (резонансный) отклик системы с одной степенью свободы при различных относительных коэффициентах демпфирования.
В таких системах, как резонаторы, мы хотим добиться как можно большего усиления. С этим связан еще один критерий, описывающий демпфирование — добротность (Q-factor). Добротность можно определить как усиление в резонансе. Она связана с относительным коэффициентом демпфирования:
Другой формализм математического описания демпфирования построен на предположении о наличии некого фазового сдвига между приложенной силой и итоговым смещением, или, другими словами, между напряжением и деформацией. Обсуждение таких фазовых сдвигов целесообразно только в случае установившихся гармонических колебаний. Если построить график зависимости напряжения от деформации для полного периода, вы увидите эллипс — петлю гистерезиса.
Кривая нагружения.
В таком варианте можно представить свойства материала как комплекснозначные величины. Для одноосной линейной упругой деформации комплексное соотношение между напряжением и деформацией можно записать в виде
Действительная часть модуля Юнга в этом соотношении называется модулем накопления (storage modulus), а мнимая часть — модулем потерь (loss modulus). Модуль потерь обычно описывают через коэффициент гистерезисных потерь (loss factor) η, а именно:
В этом выражении E совпадает с модулем накопления E’. Можно встретить и другое определение, в котором за E обозначается отношение между амплитудой напряжения и амплитудой деформации, то есть
Это различие важно только при больших значениях коэффициента гистерезисных потерь. Эквивалентной метрикой является тангенс угла потерь, а именно
Угол потерь δ определяет фазовый сдвиг между напряжением и деформацией.
Демпфирование, заданное через коэффициент гистерезисных потерь, несколько отличается от случая вязкого демпфирования. Гистерезисные потери пропорциональны амплитуде смещений, а вязкое демпфирование пропорционально скорости. Таким образом, эти величины невозможно однозначно связать друг с другом.
На рисунке ниже сравнивается отклик системы с одной степенью свободы при использовании двух разных моделей демпфирования. Можно заметить, что модель вязкого демпфирования предсказывает более сильное затухание на частотах выше резонансной по сравнению с моделью через коэффициент гистерезисных потерь и более слабое затухание на частотах ниже резонансной.
Сравнение динамического отклика для модели вязкого демпфирования (сплошные линии) и для модели через коэффициент гистерезисных потерь (пунктирные линии).
Обычно на резонансной частоте выполняется следубщее соотношение между указанными критериями: eta approx 2 zeta . Но это соотношение выполняется только на одной частоте. На рисунке ниже показана система с двумя степенями свободы. Значения коэффициентов были подобраны под первый резонанс, и при этом хорошо заметно, что кривые у второго резонанса достаточно серьезно расходятся.
Сравнение динамического отклика для модели вязкого демпфирования (сплошные линии) и для модели через коэффициент гистерезисных потерь (пунктирные линии) в системе с двумя степенями свободы.
Концепцию коэффициента гистерезисных потерь можно обобщить, определив его через энергию. Можно показать, что в вышеописанной модели материала энергия, рассеиваемая за один период, равна
где varepsilon_a — амплитуда деформации.
Схожим образом, максимальная энергия упругой деформации за период равна
Коэффициент гистерезисных потерь тогда можно записать через энергетические величины:
Это определение через рассеянную энергию можно использовать, даже если петля гистерезиса не выглядит как идеальный эллипс; достаточно лишь иметь возможность определить две эти энергетических величины.
Источники демпфирования
Физических механизмов демпфирования огромное множество. Во всех естественных процессах энергия так или иначе рассеивается.
Внутренние потери в материале
Во всех реальных материалах энергия рассеивается при деформации. Можно считать это разновидностью внутреннего трения. Обратите внимание, что кривая нагружения для полного периода не укладывается на идеально прямую линию. Она больше похожа на вытянутый эллипс.
Обычно для описания демпфирования в материале применяется модель через коэффициент гистерезисных потерь, так как на опыте оказывается, что потери энергии за период слабо зависят от частоты и амплитуды. При этом математическое описание в модели коэффициента потерь основано на комплексных величинах, то есть подразумевает только случай гармонических колебаний. Поэтому эту модель демпфирования можно использовать только для исследований в частотной области.
Коэффициенты гистерезисных потерь в материале могут сильно различаться в зависимости от точного состава материала и источников данных, которыми вы пользуетесь. В таблице ниже приведены некоторые грубые оценки.
| Алюминий | 0.0001–0.02 |
| Бетон | 0.02–0.05 |
| Медь | 0.001–0.05 |
| Стекло | 0.0001–0.005 |
| Резина | 0.05–2 |
| Сталь | 0.0001–0.01 |
Коэффициенты потерь и схожие модели демпфирования используются, если физические механизмы затухания в материале неизвестны или не важны в контексте рассматриваемой задачи. В некоторых моделях материала, например, в вязкоупругих материалах, рассеивание энергии изначально заложено в математическую модель.
Трение в соединениях
Конструкции часто соединяются болтами или другими типами креплений. Если при колебаниях соединенные поверхности двигаются относительно друг друга, энергия рассеивается через трение. Если величина силы трения не меняется за период, потери энергии за период слабо зависят от частоты. В этом смысле трение схоже с внутренними потерями в материале.
Болтовые соединения широко распространены в задачах механики конструкций. Величина рассеиваемой в болтовых соединениях энергии может сильно зависеть от конструкции. Если важно снизить потери, болты должны плотно прилегать друг к другу и быть хорошо затянуты, чтобы уменьшить макроскопическое проскальзывание между поверхностями.
Излучение звука
Вибрирующая поверхность будет приводить в движение окружающий воздух (или другую среду) и испускать звуковые (акустические) волны. Эти волны уносят часть энергии, из-за чего конструкция теряет энергию.
Излучение звука преобразователем типа Tonpilz.
Анкерные потери
Часто небольшой компонент крепится к большой конструкции (основанию/подложке), которая не включается в расчетную модель. Когда деталь вибрирует, в несущей конструкции возникают упругие волны, также являющимися источником рассеяния энергии. В контексте микроэлектромеханических систем (МЭМС), этот эффект называют анкерные потери (anchor losses).
Термоупругое демпфирование
Даже если в процессе совершенно упругой деформаций энергия не рассеивается, деформация материала слегка изменяет его температуру. Локальное растяжение приводит к снижению температуры, а сжатие — к нагреву.
Это принципиально обратимый процесс, так что при снятии напряжения температура вернется к исходному значению. Однако часто в поле напряжения есть ненулевые градиенты, которым соответствуют градиенты распределения температуры. Они вызывают тепловые потоки от теплых областей к холодным.
Когда по ходу цикла нагружения напряжение «убирают», распределение температуры уже отличается от того, что было при нагрузке. Поэтому локальный возврат к исходному состоянию невозможен. Это приводит к рассеиванию энергии.
Термоупругое демпфирование (thermoelastic damping) важно при исследовании высокочастотных колебаний на малых масштабах. Например, оно может значительно снизить добротность микроэлектромеханических резонаторов.
Демпферы и гасители
Иногда в конструкцию включают специализированные выделенные гасители колебаний, например, рессоры в подвеске колес.
Рессоры. Автор изображения — Avsar Aras, собственное произведение. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 на Викискладе.
Естественно, такие компоненты сильно влияют на суммарное демпфирование, по крайней мере, для некоторых мод колебаний.
Сейсмогасители
Особое внимание искуственному демпфированию колебаний уделяется при строительстве в сейсмоопасных районах. Чрезвычайно важно снизить амплитуду колебаний в зданиях при землетрясении. При этом гасители могут как изолировать здание от фундамента, так и рассеивать энергию.
Сейсмогасители в общественном здании. Изображение предоставлено Shustov — собственное произведение. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 на Викискладе.
Продолжение
Во второй части данной серии вы сможете найти информацию о том, как задавать демпфирование в COMSOL Multiphysics®.
Источник: www.comsol.ru
Что такое демпфер
Значение слова в переводе с немецкого языка – заглушать. Это устройство применяется в строительных конструкциях как амортизатор, гасящий колебания разного характера – атмосферные, сейсмические.
При возведении высотных зданий предусматриваются утяжеляющие элементы, уменьшающие раскачивание здания при сильном ветре. Примером такого демпферирования служит небоскреб Тайпей высотой 400 метров. В верхней его части находится металлический шар, утяжеляющий конструкцию. Вес подвесной конструкции – 660 тонн. Она установлена между88 и 92 этажами.
Это инерционный демпфер.Смотрите видео.
В условиях частых землетрясений строительство домов ведется с учетом опасности. При этом лучше избежать прямой опоры стен на поверхность земли. В этих случаях используют сейсмические амортизаторы.
Сейсмический амортизатор
Гистерезисный демпфер основан на использовании колебаний сейсмического характера. Это:
- Жидкостный демпфер, твердый
- Твердый
- Металлический
- Демпфер сухого трения
Гашение колебания производят не только с помощью устройств, но и используя конфигурацию здания. Наиболее устойчивыми считаются пирамидальные конструкции. Форма не обязательно должна быть конической. Жесткость этажей и их масса может распределяться таким образом, что верхние ярусы будут намного легче нижних, как это бывает в конических конструкциях.
Многочастотный успокоитель колебаний
Это комплекс приборов и конструкций применяемых при строительстве зданий – небоскребов,который имеет определенные резонансные частоты. Это целый комплекс диафрагм между этажами, которые закрепляются выступающими консолями, которые, в свою очередь, имеют свои периоды колебаний. Они действуют как инерционные демпферы. Выступающие консоли помимо функциональной нагрузки придают зданию неповторимый эстетический облик.
Для уменьшения колебаний сейсмического характера строители и проектировщики применяют
Приподнятое основание здания
Такая конструкция позволяет осуществлять вибрационный контроль на постройках в зонах частых землетрясений.
За счет малой опоры на поверхность земли сейсмические колебания передаются в здание намного ослабленными.
Как известно, резина является хорошим амортизатором. Это надежная изоляция от толчков при землетрясении. Резиновые цилиндры со свинцовой серединой хорошо зарекомендовали себя как гасители колебаний земной коры. В сейсмоопасных районах возведение высотных зданий все же достаточно опасно, так как устойчивой горизонтальной жесткости они не имеют. Раскачивание зданий при землетрясении может как раз послужить опасным фактором.
Пружинный демпфер работает аналогично свинцово – резиновому амортизатору. Он применяется на строительстве небольших по этажности зданий.
Источник: bouw.ru