Тип 15 № 513288
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство
откуда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:
Удостоверимся, что это значение параметра достигается, то есть существует количество продукции x, при котором достигается эта цена.
Тем самым, при p = 10 (цене 10 тыс. руб) и x = 8 (производстве 8 тыс. единиц продукции), завод окупится за три года.
Пуск. Серия 1. Художественный фильм по пьесе Геннадия Бокарева (1978)
Ответ: p = 10.
Напомним, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Иными словами, если то или причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда числа равны. Последним неравенством мы и воспользовались в решении:
Приведем решение Тофига Алиева.
Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн руб., необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство
Левая часть неравенства задает параболу с ветвями, направленными вниз, наибольшее значение достигается в вершине при
Таким образом, завод будет выпускать продукцию в количестве при этом цена составит и наименьшему значению будет соответствовать наименьшее значение p. Подставив выражение для p в неравенство (⁎), получим
откуда Количество выпускаемой продукции должно быть положительной величиной, поэтому минимальное значение равно 8, при этом цена будет равна 8 + 2 = 10.
Источник: ege.sdamgia.ru