Геометрия – точная и достаточно сложная наука, которая при всем этом является своеобразным искусством. Линии, плоскости, пропорции – все это помогает создавать много действительно прекрасных вещей. И как ни странно, в основе этого лежит именно геометрия в самых разных ее формах. В этой статье мы рассмотрим одну очень необычную вещь, которая непосредственно связанна с этим. Золотое сечение – это именно тот геометрических подход, о котором пойдет речь.
Форма предмета и ее восприятие
Люди чаще всего ориентируются на форму предмета для того, чтобы распознавать его среди миллионов других. Именно по форме мы определяем, что за вещь лежит перед нами или стоит вдали. Мы в первую очередь узнаем людей по форме тела и лица. Поэтому с уверенностью можем утверждать, что сама форма, ее размеры и вид – одна из самых важных вещей в восприятии человека.
Для людей форма чего бы то ни было представляет интерес по двум главным причинам: либо это диктуется жизненной необходимостью, либо же вызывается эстетическим наслаждением от красоты. Самое лучшее зрительное восприятие и ощущение гармонии и красоты чаще всего приходит, когда человек наблюдает форму, в построении которой использовались симметрия и особое соотношение, которое и называется золотым сечением.
Сенсорные системы. Тема 10. Общие принципы организации сенсорных систем
Понятие золотого сечения
Итак, золотое сечение – это золотая пропорция, которая также является гармоническим делением. Для того чтобы объяснить это более понятно, рассмотрим некоторые особенности формы. А именно: форма является чем-то целым, ну а целое, в свою очередь, всегда состоит из некоторых частей. Эти части, вероятнее всего, обладают разными характеристиками, по крайней мере разными размерами. Ну а такие размеры всегда находятся в определенном соотношении как между собой, так и по отношению к целому.
Значит, другими словами, мы можем утверждать, что золотое сечение – это соотношение двух величин, которое имеет свою формулу. Использование такого соотношения при создании формы помогает сделать ее максимально красивой и гармоничной для человеческого глаза.
Из древней истории золотого сечения
Соотношение золотого сечения часто используют в самых разных сферах жизни прямо сегодня. Но история этого понятия уходит еще в древние времена, когда только зарождались такие науки, как математика и философия. Как научное понятие золотое сечение вошло в обиход во времена Пифагора, а именно в VI веке до нашей эры. Но еще до того знания о подобном соотношении на практике использовали в Древнем Египте и Вавилоне. Ярким свидетельством этого являются пирамиды, для построения которых использовали именно такую золотую пропорцию.
Новый период
Эпоха Возрождения стала новым дыханием для гармонического деления, особенно благодаря Леонардо да Винчи. Это соотношение все больше начали использовать как в точных науках, таких как геометрия, так и в искусстве. Ученные и художники стали более глубоко изучать золотое сечение и создавать книги, рассматривающие этот вопрос.
Физика 10 класс (Урок№6 — Инерциальные системы отсчета и принцип относительности в механике.)
Одна из самых важных исторических работ, связанных с золотой пропорцией, – это книга Луки Панчоли под названием «Божественная пропорция». Историки подозревают, что иллюстрации этой книги были выполнены самим Леонардо до Винчи.
Математическое выражение золотой пропорции
Математика дает очень четкое определение пропорции, которое говорит о том, что она является равенством двух соотношений. Математически это можно выразить таким равенством: а:b=с:d, где а, b, с, d – это некоторые определенные значения.
Если рассматривать пропорцию отрезка, разделенного на две части, то можем встретить всего несколько ситуаций:
- Отрезок разделен на две абсолютно ровные части, а значит, АВ:АС= АВ:ВС, если АВ – это точна начала и конца отрезка, а С – точка, которая и разделяет отрезок на две равные части.
- Отрезок разделен на две неравные части, которые могут находиться в самом разном соотношении между собой, а значит, здесь они абсолютно непропорциональны.
- Отрезок разделен так, что АВ:АС= АС:ВС.
Что же касается золотого сечения, то это такое пропорциональное деление отрезка на неравные между собой части, когда весь отрезок относится к большей части, как и сама большая часть относится к меньшей. Существует и другая формулировка: меньший отрезок так относится к большему, как и больший ко всему отрезку. В математическом соотношении это выглядит следующим образом: а:b = b:с или с:b = b:а. Именно такой вид имеет формула золотого сечения.
Золотая пропорция в природе
Золотое сечение, примеры которого мы сейчас рассмотрим, относится к невероятным явлениям в природе. Это очень красивые примеры того, что математика – это не просто цифры и формулы, а наука, которая имеет более чем реальное отражение в природе и нашей жизни вообще.
Для живых организмов одна из главных жизненных задач – это рост. Такое стремление занять свое место в пространстве, по сути, осуществляется в нескольких формах – рост вверх, практически горизонтальное расстилание по земле или закручивание по спирали на некой опоре. И как бы ни было это невероятно, много растений растут в соответствии с золотой пропорцией.
Еще один почти невероятный факт – это соотношения в теле ящериц. Их тело выглядит достаточно приятно для человеческого глаза, и это возможно благодаря тому же золотому соотношению. Если быть точнее, то длина их хвоста относится к длине всего тела как 62 : 38.
Интересные факты о правилах золотого сечения
Золотое сечение – это поистине невероятное понятие, а значит, на протяжении всей истории мы можем встретить много действительно интересных фактов о такой пропорции. Представляем вам некоторые из них:
-
активно применялось в построении пирамид. Например, всемирно известные гробницы Тутанхамона и Хеопса возводили с использованием такого соотношения. И золотое сечение пирамиды до сих пор остается загадкой, ведь по сей день не известно, случайно или же специально выбирались такие размеры для их оснований и высот.
- Правило золотого сечения четко видно в фасаде Парфенона – одного из самых красивых сооружений в архитектуре Древней Греции.
- То же касается здания собора Парижской Богоматери (Нотр-Дам де Пари), то здесь не только фасады, но и другие части конструкции возводили, опираясь на эту невероятную пропорцию.
Золотое сечение в человеческом теле
В этом разделе нужно упомянуть очень значимую персону, а именно – С. Цейзинга. Это немецкий исследователь, который провел огромнейшую работу в сфере изучения золотой пропорции. Он опубликовал труд под названием «Эстетические исследования». В своей работе он представил золотое сечение как абсолютное понятие, которое является универсальным для всех явлений как в природе, так и в искусстве. Здесь можно вспомнить золотое сечение пирамиды наряду с гармоничной пропорцией человеческого тела и так далее.
Именно Цейзинг смог доказать, что золотое сечение, по сути, есть средним статистическим законом для человеческого тела. Это было показано на практике, ведь во время своей работы ему пришлось измерять очень много человеческих тел. Историки считают, что в этом опыте принимали участие более двух тысяч людей.
По исследования Цейзинга, главный показатель золотого соотношения – это деление тела точкой пупка. Так, мужское тело со средним соотношением 13:8 немного ближе к золотому сечению, чем женское, где число золотого сечения составляет 8:5. Также золотую пропорцию можно наблюдать в других частях тела, таких как, например, рука.
О построении золотого сечения
На самом деле, построение золотого сечения – дело нехитрое. Как мы видим, еще древние люди справлялись с этим довольно легко. Что уже говорить о современных знаниях и технологиях человечества. В этой статье мы не будем показывать, как подобное можно сделать просто на листке бумаги и с карандашом в руках, но с уверенностью заявим, что это, на самом деле, возможно. Более того, сделать это можно далеко не одним способом.
Так как это достаточно несложная геометрия, золотое сечение является довольно простым для построения даже в школе. Поэтому информацию об этом можно легко найти в специализированных книгах. Изучая золотое сечение 6 класс полностью способен понять принципы его построения, а значит, даже дети достаточно умны для того, чтобы осилить подобную задачу.
Золотая пропорция в математике
Первое знакомство с золотым сечением на практике начинается с простого деления отрезка прямой все в тех же пропорциях. Чаще всего это реализуется с помощью линейки, циркуля и, конечно же, карандаша.
Отрезки золотой пропорции выражают как бесконечную иррациональную дробь AE = 0,618. если АВ принимается за единицу, ВЕ = 0,382. Для того чтобы сделать эти вычисления более практическими, очень часто используют не точные, а приближенные значения, а именно – 0,62 и 0,38. Если же отрезок АВ принимать за 100 частей, то большая его часть будет равна 62, ну а меньшая – 38 частям соответственно.
Главное свойство золотого соотношения можно выразить уравнением: х 2 -х-1=0. При решении мы получаем следующие корни: х1,2=. Хотя математика и есть точной и строгой наукой, как и ее раздел – геометрия, но именно такие свойства, как закономерности золотого сечения, наводят таинственность на эту тему.
Гармония в искусстве через золотое сечение
Для того чтобы подвести итоги, рассмотрим коротко то, о чем уже говорили.
В основном под правило золотого соотношения подпадает много образцов искусства, где соблюдается соотношение близкое к 3/8 и 5/8. Это и есть грубая формула золотого сечения. В статье уже очень много упоминалось о примерах использования сечения, но мы еще раз посмотрим на него через призму древнего и современного искусства. Итак, самые яркие примеры из древних времен:
- Золотое сечение пирамиды Хеопса и Тутанхамона выражается буквально во всем: храмы, барельефы, предметы быта и, конечно же, украшения самых гробниц.
- Храм фараона Сети І в Абидосе славится рельефами с разными изображениями, и все это соответствует все тому же закону.
Что касается уже наверняка сознательного использования пропорции, то, начиная с времен Леонардо да Винчи, она вошла в использование практически во всех отраслях жизни – от науки и до искусства. Даже биология и медицина доказали, что золотое соотношение работает даже в живых системах и организмах.
Источник: fb.ru
Вопрос № 1063813
Принцип «золотого сечения», активно использовавшийся при строительстве древнеегипетских пирамид, отражает _________ функцию искусства.
- гедоническую
- воспитательную
- прогностическую
- познавательную
Вопрос задал(а): Анонимный пользователь, 13 Ноябрь 2020 в 18:09
На вопрос ответил(а): Анастасия Степанова, 13 Ноябрь 2020 в 18:09
Похожие вопросы
Вопрос № 25172
Основной принцип архитектуры как организации пространства искусственного в естественном отражает _________ функцию искусства.
Вопрос № 1063812
Украшение интерьеров картинами, скульптурами, предметами декоративно-прикладного искусства отражает _________ функцию искусства.
Другие вопросы по предмету Обществознание
Вопрос № 1063814
Искусство ____________ представляет собой деятельность по проектированию и строительству зданий и сооружений.
Вопрос № 1063815
Искусство _________ представляет собой средство воплощения художественных образов через организованное во времени чередование звуков и тишины.
Источник: testna5.ru
Золотое сечение» в архитектуре
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.
Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.
Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).
Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.
Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.
Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок».
5. «Золотое сечение» в живописи
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.
Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Моны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
Сказка
Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя».
Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.
Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир.
Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.
Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой».
Но женщина ответила: «Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».
Кончив сказку, Леонардо взглянул на Мону Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.
Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель.
Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.
Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.
Корни этого уравнения: x1 = 1/2,
x2 = , x3 = . А так как sin18 0 есть положительное число, то
sin18 0 = .
Обозначим эту дробь как 1/2a. Тогда, cos36 0 = 1-2sin 2 18 0 = 1- 2/(4a 2 ) =a/2. Таким образом, AD/AF = a. Но AF = AC, значит, AD/AF = AD/AC = a, и точка C делит отрезок AD золотым сечением.
5. Золотой прямоугольник.
Пусть отношение сторон прямоугольника равно a. Такие прямоугольники называются прямоугольниками золотого сечения или золотыми прямоугольниками. Если вписать в прямоугольник золотого сечения наиболее возможный квадрат, то снова получим золотой прямоугольник.
AD = AE = EF, значит
Но a 2 -1 = a, так что получаем:
Книге II своих «Начал» Евклид сформулировал предложение 2.11, которое задает «деление отрезка в среднем и крайнем отношении»:
Предложение 2.11. Данную прямую разделить так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.
Рассмотрим это определение более детально. Для этого возьмем отрезок АВ и разделим его точкой С на две неравные части АС и СВ (Рис.1)
Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»)
Таким образом, Предложение 2.11 по существу представляет собой геометрическую задачу о построении прямоугольника, равновеликого квадрату. Подобные задачи были широко распространены в античной науке (вспомним знаменитую задачу о квадратуре круга). Евклид, однако, не указывает, какой именно отрезок (меньший или больший) должен быть выбран в Предложении 2.11 для того, чтобы сконструировать из него прямоугольник, равновеликий квадрату.
Легко доказать, что «задача Евклида», задаваемая Предложением 2.11, имеет решение только для случая, когда «одним из отрезков», образующим прямоугольник вместе с исходным отрезком, является меньший отрезок СВ. Действительно, если в качестве «одного из отрезков» выбрать больший отрезок АС, тогда Предложение 2.11 должно быть записано в следующем виде:
Если разделить обе части равенства (1) вначале на АВ, а затем на СВ, то получим следующую пропорцию:
Но эта пропорция приводит нас к противоречию. Действительно, отношение большего отрезка к меньшему (АС:СВ) всегда больше 1, в то время как отношение части отрезка ко всему отрезку (СВ:АВ) всегда меньше 1. Поэтому пропорция (2) является абсурдной. Отсюда мы можем сделать вывод, что Предложение 2.11 имеет решение только для случая, когда в качестве «одного из отрезков» выбирается меньший отрезок СВ.
Согласно Предложению 2.11 точка С должна быть выбрана таким образом, чтобы площадь прямоугольника со сторонами АВ и СВ равнялась площади квадрата со стороной АС. Запишем это утверждение в виде равенства:
А теперь разделим обе части равенства (3) вначале на СВ, а затем на АС. В результате получим следующую пропорцию:
А это – ни что иное, как «задача о золотом сечении» в современной формулировке. Из этих рассуждений вытекает однозначный вывод, что «задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» в формулировке Евклида и современная «задача о золотом сечении» — это разные формулировки одной и той же математической задачи!
Будем называть прямоугольник, который вытекает из Предложения 2.11 «прямоугольником Евклида». Если обозначить длины отрезков АВ, АС и СВ соответственно: АВ = а, АС = b и СВ = с, то выражение (3) может быть переписано в следующем виде:
С учетом введенного определения мы можем представить «прямоугольник Евклида», как показано на Рис.2.
Рисунок 2. Прямоугольник Евклида
Как следует из Рис. 2, в «прямоугольнике Евклида» отношение большей стороны к меньшей равно отношению длины исходного отрезка к длине меньшего отрезка в Предложении 2.11; при этом согласно (5) его площадь равна квадрату длины большего отрезка.
Если в качестве исходного выбрать единичный отрезок (а=1), то длины большего (b) и меньшего (c) отрезков, возникающих при деления единичного отрезка в крайнем и среднем отношении, всегда будут правильными дробями и тогда выражение (1) может быть записано в виде:
Из выражения (6) вытекает следующая формулировка Предложения 2.11 для случая единичного отрезка:
Предложение 2.11 для единичного отрезка. Разделить единичный отрезок на две неравные части в такой пропорции, чтобы длина меньшего отрезка равнялась квадрату длины большего отрезка.
Обозначим пропорцию (4) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, пропорцию (4) можно записать в следующем виде:
,
откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомой пропорции x:
Из «геометрического смысла» пропорции (4) вытекает, что искомое решение уравнения (7) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (7), который мы обозначим через t, то есть
t = .
Если исходный отрезок АВ в задаче на Рис. 1 будет единичным отрезком, то есть АВ = 1, то тогда отрезок АС = t -1 , а отрезок СВ = t -2 . С учетом этого замечания «прямоугольник Евклида» на Рис. 2 будет представлять собой «золотой» прямоугольник с отношением сторон АВ:СВ = t 2 . Из этих рассуждений вытекает, что Евклид своим Предложением 2.11 не только сформулировал «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» («золотое сечение»), но и открыл новый вид «золотого» прямоугольника с отношением сторон t 2 (Рис.2).
Заметим, что сформулированное выше Предложение 2.11 для единичного отрезка выражает следующее широко известное свойство «золотой пропорции»:
Заметим, что тождество (8) выражает знаменитый «Принцип Золотой Пропорции», который, начиная с античного периода, пронизывает человеческую науку и культуру.
В споре о том, знал ли Евклид «золотое сечение», необходимо четко различать математическое понятие «золотого сечения» и его название (то есть необходимо различать «суть» и «термин»). Сразу же отметим, что Евклид не пользовался термином «золотое сечение», предпочитая ему термин «деление отрезка в крайнем и среднем отношении». Но поскольку, как показано выше, задача о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», сформулированная Евклидом и выражаемая соотношением (3), и задача о «золотом сечении» в современной формулировке, выражаемая пропорцией (4), — это просто разные формулировки одной и той же геометрической задачи, то отсюда вытекает, что Евклид хорошо был знаком с «Принципом Золотой Пропорции» (8). И поэтому попытки некоторых современных исследователей доказать, что Евклид не был знаком с «золотым сечением», не выдерживают критики.
Источник: studopedia.ru