Ба́зис (др.-греч. βασις , основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.
В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:
- Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
- Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,
В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.
Происхождение термина
У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βασις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе
Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве
Базис в двумерном пространстве (то есть на плоскости). На диаграмме, голубой и оранжевый векторы — элементы базиса (или базисные векторы); зеленый вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зеленый = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.
Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).
Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.
Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.
В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).
Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято по умолчанию использовать правые базисы (это общепринятое соглашение, если только какие-то особые причины не заставляют от него отойти — и тогда это оговаривается явно). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются, как правило, исходящими из общего начала).
Как разложить вектор по базису — bezbotvy
Обозначения
Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:
— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).
— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение
Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например
или, употребляя знак суммы :
называется разложением этого вектора по этому базису.
Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора в базисе (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).
Базис Гамеля
Базис Га́меля (англ. Hamel basis ) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.
Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.
В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.
В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):
Лемма. Пусть — полная, а — линейно независимая система векторов. Тогда система содержит набор векторов, дополняющий до базиса пространства .
Следствием этой леммы являются утверждения:
- Каждое линейное пространство обладает базисом.
- Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
- Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.
Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.
Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.
Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.
Примеры
- Векторы пространства образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: neq 0″ width=»» height=»» />.
- В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: .
- Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.
Базис Гамеля и разрывная линейная функция
Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию . Пусть » width=»» height=»» /> — базис Гамеля множества действительных чисел » width=»» height=»» /> над полем рациональных чисел » width=»» height=»» />. Тогда для каждого r_ + cdots + k_ r_» width=»» height=»» /> (» width=»» height=»» />) положим + cdots + k_» width=»» height=»» />. Функция линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.
Базис Шаудера
Система векторов » width=»» height=»» /> топологического векторного пространства называется базисом Шаудера (в честь Шаудера (англ.)), если каждый элемент разлагается в единственный, сходящийся к ряд по » width=»» height=»» />:
где — числа, называемые коэффициентами разложения вектора по базису » width=»» height=»» />.
Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.
Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций >sin(2pi nx), frac> cos(2pi nx)mid n=1,2,dots>» width=»» height=»» /> является базисом Шаудера в пространстве . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.
Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций ![C[a,b]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png)
— банахово пространство с нормой |f(x)|» width=»» height=»» />. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве , но не в . Шаудер сконструировал базис Шаудера » width=»» height=»» /> для . Пусть » width=»» height=»» /> — плотное счетное множество точек на , , , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка , упорядоченными произвольным образом.
Положим: , — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию так, чтобы при и . Точки » width=»» height=»» /> разбивают на отрезок. Точка лежит строго внутри одного из них. Пусть это для каких-то » width=»» height=»» /> (порядок нумерации чисел не соответствует их величине).
Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение (x)» width=»» height=»» />. Красным цветом на графике выделен участок, на котором » width=»» height=»» /> отличается от » width=»» height=»» /> (синяя ломаная).
вне отрезка » width=»» height=»» /> при » width=»» height=»» /> при
Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений . Частичная сумма первых членов ряда
является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией с узлами в точках » width=»» height=»» />; формула для коэффициентов (x_n); ; ; f_0=f(a)» width=»» height=»» /> (см. Рис.)
Проблема базиса
Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).
Применение в кристаллографии
В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами [1] :212-214 . В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.
Источник: dic.academic.ru
Базис
БАЗИС, в геодезии — основная линия, по которой определяются величины других линий и положение точек, связанных с базисом. В мензульной съемке при составлении геометрической сети за базис принимают прямую линию на ровной местности, удобной для измерения, с таким расчетом, чтобы с концов базиса можно было произвести визирование на окружающие пункты геометрической сети, с целью определения их положения на мензуле способом прямой засечки. Для геометрической сети базис выбирают по возможности в середине планшета, такой длины, чтобы на бумаге он получился размером в 4—8 см; такие базисы измеряют стальными лентами, не менее двух раз. Для мензульной же съемки за базис принимают стороны тригонометрической сети, там, где они имеются; на планшет по координатам наносятся пункты тригонометрической сети, и одна из линий, их соединяющих, м. б. взята за базис.
В тригонометрической сети базисом служит одна из сторон сети, которая очень точно измеряется в натуре; в каждом треугольнике измеряют все три угла, а затем по известной стороне и углам вычисляют другие неизвестные стороны треугольников по правилам прямолинейной тригонометрии, по формуле
где стороны треугольника относятся между собой, как синусы противолежащих углов. Измеренный базис часто соединяют с основной сетью дополнительной сетью, которая носит название базисной сети . Базисные сети применяются преимущественно для того, чтобы можно было постепенно, без излишних погрешностей, перейти от сравнительно короткого базиса к относительно большой стороне тригонометрической сети. В настоящее время установлено, что для перехода от базиса к базисной стороне нужно их расположить так, чтобы базис представлял малую диагональ, а сторона — большую диагональ ромба, вершинами которого служат две точки стороны и два конца базиса; для этого базис располагают посредине стороны, примерно перпендикулярно к ней, и дают размеры раза в 4—5 менее длины стороны. Так как тригонометрическая сеть охватывает большие пространства, то ее протяжение достигает значительных размеров, и новые вычисленные стороны отходят от базиса все дальше и дальше. В первоклассных триангуляциях базис измеряют каждые 300—400 км по меридиану или по параллели. В таких случаях длина вновь измеренной стороны тригонометрической сети не будет в точности равна ее длине, полученной от первого базиса путем вычислений; разность между двумя результатами д. б. распределена (уравновешена) на промежуточные (между двумя базисами) стороны, т. е. здесь д. б. выполнено т. н. базисное условие , которое в общем виде представляется формулой:
где a и b- базисы, a I, II, III и т. д. — углы тригонометрической сети. В начале и в конце каждого базиса закладывают базисные центры; такие центры делаются, в виде куба 0,7—1,0 м в грани, из кирпича или с особыми марками — центрами. Центры закладываются двоякие: под землей и над землей.
Источник: azbukametalla.ru
Базис
Значение слова «Базис» по Ефремовой:
«Базис» — 1. Совокупность исторически определенных производственных отношений, образующих экономическую структуру общества и определяющих характер надстройки.
2. То же, что: база (2).
Значение слова «Базис» по Бизнес словарю:
«Базис» — от греч. ba~sis
А. Основа, фундамент, база.
Б. Надбавка или скидка к биржевой котировке. Является предметом торга, зависит от качества товара, условий поставки, сроков платежей и других факторов. Б. бывает увеличивающийся и уменьшающийся.
Значение слова «Базис» по Финансовому словарю:
«Базис» — разница (премия или скидка) между ценой наличного товара и то- вара с поставкой на срок, между ценой по сделкам с реальным товаром и биржевыми котировками. Обычно указывается в пунктах вверх или вниз отбиржевой котировки. Используется при заключении сделок с реальным това ром, особенно с последующей фиксацией цены, когда при заключении сделки оговаривается только БАЗИС, а биржевая котировка фиксируется позже по выбору одной из сторон.
Источник: www.chitalnya.ru
Значение слова базис
базис
Базис Ба́зис ( «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора.
Википедия
базис
I м.Совокупность исторически определенных производственных отношений, образующих экономическую структуру общества и определяющих характер надстройки ( в философии ) . II м.Исходные данные, основные положения чего-либо, то, на чем базируется что-либо. III м.Совокупность материальных или технических средств, ресурсов; база I
2..
Большой современный толковый словарь русского языка
базис
( гр. basis)
1) основа, основание; опора, фундамент; база;
2) б. экономический — экономический строй общества на данном этапе его развития, совокупность производственных отношений между людьми, обусловленных определенным уровнем развития материальных производительных сил общества и определяющих его классовую (или бесклассовую — при коммунизме) структуру, на основе базиса возникает соответствующая ему надстройка — совокупность политических, правовых и др. отношений, учреждений и различных форм общественного сознания ( см. формация ),
3) геод. линия, непосредственно измеряемая на местности с высокой точностью и предназначенная в триангуляции для определения длин сторон треугольников и координат пунктов по измеренным углам;
4) геол. б. эрозии — уровень бассейна, в который впадает водный поток; для рек, впадающих в море, базисом эрозии является уровень моря (общий, или главный, б. эрозии); притоки имеют своим базисом эрозии уровень воды главной реки в месте их впадения (местный, или временный, б. эрозии).Новый словарь иностранных слов
базис
м.
1) Совокупность исторически определенных производственных отношений, образующих экономическую структуру общества и определяющих характер надстройки.
2) То же, что: база (
2).Новый толково-словообразовательный словарь русского языка Ефремовой
1. основа, основание; опора, фундамент; база;
2. б. экономический — экономический строй общества на данном этапе его развития, совокупность производственных отношений между людьми, обусловленных определенным уровнем развития материальных производительных сил общества и определяющих его классовую (или бесклассовую — при коммунизме) структуру, на основе базиса возникает соответствующая ему надстройка — совокупность политических, правовых и др. отношений, учреждений и различных форм общественного сознания (см. формация),
3. геод. линия, непосредственно измеряемая на местности с высокой точностью и предназначенная в триангуляции для определения длин сторон треугольников и координат пунктов по измеренным углам;
4. геол. б. эрозии — уровень бассейна, в который впадает водный поток; для рек, впадающих в море, базисом эрозии является уровень моря (общий, или главный, б. эрозии); притоки имеют своим базисом эрозии уровень воды главной реки в месте их впадения (местный, или временный, б. эрозии).
Словарь иностранных выражений
базис
б`азис, -а
Словарь русского языка Лопатина
базис
совокупность исторически сложившихся производственных отношений, лежащих в основе надстройки N3 данного общества базис == база N1/2
Словарь русского языка Ожегова
базис
(греч. basis — основание), основа, основание; опора, фундамент, база. Напр., базис колонны, базис программы. — в геодезии — линия на местности, измеряемая с высокой точностью и служащая для определения длин сторон геодезической сети в триангуляции.
Современный толковый словарь, БСЭ
базис
базис м.
1) Совокупность исторически определенных производственных отношений, образующих экономическую структуру общества и определяющих характер надстройки.
2) То же, что: база (
2).Толковый словарь Ефремовой
базис
базиса, м. (греч. basis – основание, пьедестал). : (твердо обосновать что-н., подтвердить что-н. какими-н. данными). Экономический базис (совокупность производительных сил и производственных отношений как основа социальных явлений).
3. В геодезии – точно промеренная линия, служащая основанием сети треугольников при топографич. съемке.
4. В кристаллографии – название одной из образующих плоскостей кристаллического тела. что-н
1. То же, что база в 1 знач. (архит.). Базис колонны.
2. только ед. То же, что база во 2 знач. (книжн.). Подвести базу подо что-н: (твердо обосновать что-н., подтвердить что-н. какими-н. данными). Экономический базис (совокупность производительных сил и производственных отношений как основа социальных явлений).
3. В геодезии – точно промеренная линия, служащая основанием сети треугольников при топографич. съемке.
Толковый словарь русского языка Ушакова
базис
(греч. basis — основание) — надбавка к биржевой котировке или скидка с нее, являющаяся предметом торга. Она зависит от сорта и качества товара, условий поставки, платежей и др. факторов. Увеличивающийся Б. указывается в пунктах вверх от биржевой котировки, уменьшающийся Б. указывается в пунктах вниз от биржевой котировки.
Словарь экономических терминов
базис
ПОСТАВКИ- условия внешнеторговой сделки, касающиеся распределения обязанностей между продавцом и покупателем относительно оформления документов, распределения расходов, выполнения сроков поставки, определение момента перехода от продавца к покупателю права собственности на товар, риска случайного повреждения или утраты товара и т.п.
Словарь экономических терминов
базис
(греч. basis — основание), в широком смысле то же, что база.
Большая советская энциклопедия, БСЭ
базис
базис, -а
Полный орфографический словарь русского языка
базис
совокупность исторически определённых производственных отношений, образующих экономическую структуру общества и определяющих характер надстройки исходные данные, основные положения чего-либо; то, на чём базируется что-либо совокупность материальных или технических средств, ресурсов; база множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества
Викисловарь
Таким образом, считалось, что занятием территории Красная Армия расширяет не только « базис войны», но и «социалистический базис » вообще.
Под материальный базис Маркса стали подводить «идеальный», психологический базис австрийской школы (Бём-Баверк), Л.
Большевики пытались изменить базис надстройкой, но отсталый советский базис изменил, в конце концов, сознание большевиков и надстройки.
стратегию, основанную на магазинной системе снабжения; ввёл понятия: базис военных действий (пункт, где находятся главные магазины) и операционная линия (путь от базиса до цели действий), предложил методы ведения наступательных и оборонительных войн.
Таким образом, no-Ленину, в отличие от Плеханова, на мелкобуржуазном и капиталистическом базисе будет существовать некоторое время политическая власть пролетариата, то есть — социалистическая надстройка (политика и идеология), которая затем, по мере необходимости, преобразует капиталистический (рыночный) базис в социалистический, безрыночный, непосредственно общественный.
Но что делать, если экономический базис действительно определяет все до тех пор… пока он является базисом !
Теперь есть серьезный промышленный базис это больше легкая промышленность, Услуги, компьютерные технологии, есть несколко фирм которые работают как с ЕЕС так и с странамивосточной Европыи с Россией включительно.
Обоснованной является эта преходящая иллюзорная реальность, составляющая базис понятийного описания, которое, в свою очередь, облегчает беспрепятственное функционирование человеческого интеллекта.
Итак, природа ума — это пустота, поскольку он свободен от неотъемлемого существования; светоносность, ибо он являет собой базис всех явлений; безостановочность, ибо эти пустота и светоносность — неразрушимы.
Незадолго до семнадцатого мая тысяча девятьсот восемьдесят пятого года Ханин предположил, что сухие термины » базис «, «надстройка», «ВКП(б)» и им подобные в подобном же ряду подобных, суть фрагменты чрезвычайно сильного заклинания, либо же составляющие элементы имени древнего демона.
Источник: xn--b1advjcbct.xn--p1ai