Что такое 1 и 2 уровни строительства

Необходимость проведения аттестации возникает на предприятиях и производствах, действующих под Госгортехнадзором России.

Научиться варить можно в гараже, на даче, и этих навыков вполне хватит для сооружения теплицы, мангала, калитки. Но даже имея диплом сварщика и разряд, к некоторым работам на предприятии вас не допустят. Нужна дополнительная аттестация самого сварщика и использование только одобренных сварочных аппаратов. Рассмотрим, что такое аттестация НАКС и как получить сертификат для оборудования, а также удостоверение для сварщика.

В этой статье:

Аттестация НАКС, кто ее проводит?

Аббревиатура НАКС расшифровывается как «Национальное Агентство Контроля сварки». Это государственная комиссия, входящая в структуру САСв (Система Аттестации Сварочного производства). В состав проверочной группы допускаются специалисты, имеющие глубокие теоретические и практические знания в области соединения металлов путем плавления. Оно должны хорошо разбираться в оборудовании для этого, а также пройти собственную аттестацию, получив соответствующее удостоверение.

Как создать уровень в игре. Условия, структура, детализация, план

В нем обозначается, что они имеют право проведения подготовительных курсов и аттестации, изучение сварочного оборудования на соответствие характеристикам, проверку сварных соединений. Сейчас действуют аккредитованные центры с лицензией, имеющие право на выполнение проверок и выдачу сертификатов.

Необходимость проведения аттестации возникает на предприятиях и производствах, действующих под Госгортехнадзором России, где используется:

Уровни сварщиков

По системе НАКС различают четыре уровня профессиональной подготовки:

Как получить удостоверения НАКС

Чтобы получить удостоверение, подают заявку в аккредитованный центр. Вместе с ней прикладывают:

Кандидаты проходят предварительную специальную подготовку по программе Госгортехнадзора России. Уровень программы разрабатывается в согласии с производственной деятельностью сварщика. Сюда включается:

Назначается комиссия. После этого кандидат сдает теоретический и практический экзамены. Выдается удостоверение. Оно действует 2 года, после чего требуется продление. У специалистов II и III уровня документ годен 3 года.

Для сварщиков IV уровня удостоверение пригодно 5 лет.

Кто должен проходить аттестацию

Первый уровень должны иметь все сварщики, задействованные при сварке конструкций, сосудов, оборудования, находящегося в ведомстве контроля Госгортехнадзора. Второй уровень необходим мастерам и прорабам, которые отдают непосредственные указания сварщикам.

Третий уровень требуется руководителям, ответственным за выполнение сварочных процессов. Это могут быть представители технического бюро, начальники отделов, лабораторий.

Четвертый уровень нужен главам и заместителям руководителей, которые ставят подпись на технических документах по сварке.

Очередность прохождения

Существует такой порядок прохождения аттестации для кандидатов или специалистов:

Данные о каждом специалисте вносятся в электронный реестр. Проверить уровень аттестации можно, введя номер удостоверения.

Свидетельство НАКС

Кроме удостоверения сварщика, необходимо свидетельство НАКС для аппаратов, задействованных при сварке ответственных конструкций. Не все модели с завода пройдут такую проверку, о чем производители прямо указывают на официальных сайтах и в паспорте товара. Если изначально купить аппарат, в котором указано, что он не пройдет проверку НАКС, то он ее действительно не пройдет. Это будут зря потраченные деньги.

Некоторые производители изначально сдают свои товары в центры аттестации, чтобы продавать их уже с сертификатами. Либо указывают в документах, что, при необходимости, оборудование можно аттестовать по НАКС. Примеры таких сварочных аппаратов аттестованных НАКС.

БАРСВЕЛД Profi ARC-407-D

При аттестации различают сварочное оборудование на то, которому нужно продлить действие сертификата, и на то, которое проходит проверку впервые. Узнать, есть ли у полуавтомата или инвертора сертификат НАКС можно на официальном сайте Национального Агентства Контроля, введя марку СО, заводской номер, шифр СО.

Здесь же можно проверить действительность (подлинность) имеющегося бумажного сертификата, указав АЦ, который его выдал, номер свидетельства и сроки действия. Если информация верна, то данные из базы будут соответствовать бумажному документу. В противном случае следует верить сведениям с официального сайта.

Поэтому сварочное оборудование с сертификатом НАКС следует покупать только у надежных магазинов, как например Svarbi, чтобы не разочароваться в подлинности документов. Здесь есть: сварочные выпрямители, инверторы, установки аргонодуговой сварки, полуавтоматы.

Порядок прохождения процедуры

Порядок аттестации сварочного оборудования проводится в такой последовательности:

1. В центр аттестации подается заявка на проверку сварочного оборудования (СО). Адреса центров можно найти на официальном сайте НАКС.
2. Вместе с заявкой прикладывается копия паспорта изделия (если она на иностранном языке, то необходим перевод), гарантийный талон, сертификат от производителя.
3. Привозится оборудование в аттестационный центр.

Если заявленное оборудование предоставляет иностранная фирма, потребуются документы, подтверждающие ввоз в страну. Все копии документов заверяются руководителем предприятия.

В зависимости от количества СО различают виды аттестации сварочного оборудования. Это может быть проверка одного аппарата, двух или всех, имеющихся на производстве, что указывается в заявке.

Аттестация СО проводится путем установления точности документов, соответствия заявленных характеристик, практических испытаний. Процедура ведется в такой последовательности:

1. Выполняется экспертиза паспорта, сертификата и прочих документов сварочного аппарата.
2. Аттестация СО включает в себя проведение следующих испытаний: оцениваются реальные характеристики по мощности, силе тока, напряжению, продолжительности нагрузки.
3. Выполняются сварочные соединения и проверяется их прочность методом разрушающего и неразрушающего контроля.
4. Результаты испытаний заносятся в протокол и им присваивается оценка.
5. Проводится экспертиза результатов.
6. Выдается свидетельство НАКС (если оборудование прошло проверку).

Срок действия свидетельства об аттестации сварочного оборудования (СО) составляет 3 года. Стоимость аттестации сварочного оборудования зависит от количества предоставленных на проверку аппаратов. Работы неаттестованными сварочными агрегатами влекут штрафы, швы могут признать ненадлежащего качества и все придется переделывать, поэтому лучше сразу купить инвертор, полуавтомат или TIG-аппарат с сертификатом НАКС.

Аттестация организаций и предприятий

Если вся деятельность предприятия сводится к выполнению сварки на опасных, ответственных конструкциях, то аттестация проводится для всего коллектива (имеющего непосредственное отношение к сварке и сопутствующим документам), а также всего сварочного оборудования и материалов. Для этого составляется соответствующее заявление в любой аккредитованный НАКС центр.

Источник видео: Краснодар НАКС

Обычно их предоставляют аккредитованные организации, проводящие подготовительные курсы. Но билеты не являются большой тайной, поэтому их давно можно найти в свободном доступе на форумах в интернете.

Зайдите на официальный сайт и введите город. Система покажет ближайший центр с его адресом и названием.

Да, нужно. В нормативном документе РД 03-613-03 указано, что все материалы и приспособления, задействованные в изготовлении или ремонте опасных объектов, подлежат сертификации НАКС.

Нет. Личное клеймо выдается некоторым сварщикам вместе с удостоверением. По нему можно отследить специалиста, выполнявшего конкретное соединение. Клеймо ставится на особо ответственные стыки, чтобы в случае необходимости привлечь сварщика к ответственности. Но для допуска к таким работам необходимо удостоверение.

Если сварщик устроен на предприятии, то платит предприятие. Но тогда организация может заключить с ним дополнительный договор об обязательном отрабатывании количества лет, на которое выдано удостоверение. Если сварщик увольняется раньше, то он будет обязан компенсировать эту сумму.

Источник: www.svarbi.ru

Еще раз про уровни Tier

Наверняка все слышали про ЦОД и Tier, некоторые знают, что есть некие уровни этих самых Tier и вроде бы всё это связано с серверами + отвечает за стабильность, безопасность и качество работы оных, но далеко не всё известно подробно, понятно, детально и всем.

Т.е, здесь, на Хабре, уже было несколько статей, но все они вроде бы не совсем полные. В рамках этого материала я попытался собрать всё воедино, систематизировать и донести всё доступным языком, т.е мы кратко пройдемся по определению ЦОД’ов, а потом углубимся в Tier, уровни, стандарты и понимание того, как это устроено, что означает и всё такое прочее.

Вводная и определения

Давайте для начала определимся с понятием ЦОД’а, которое мы приравниваем к понятию дата-центров, а так же ЦХОД (чуть дальше Вы поймете откуда взялась буковка “Х”).

Если говорить просто, то дата-центр, — это не что иное, как специализированное здание для размещения серверного и сетевого оборудования с последующим подключением к нему клиентов (не всегда).

В свою очередь сервера занимаются обработкой, хранением и иного рода взаимодействиями с данными.

ЦОД’ы в комплексе, — и сервера в частности, — могут иметь различные цели, хотя и в большинстве случаев кажется, что они представляют собой платформу для размещения хостинга, что не всегда справедливо. Точности ради стоит сказать, что некую долю занимают дата-центры обслуживающие платформы для майнинга или просто серверные парки в оных, занимающиеся обсчетом критически важных, с точки зрения, зачастую, инфраструктуры, данных.

Считается, что центры обслуживания и хранения данных ориентированы в большинстве своём на корпоративных клиентов и пусть в абсолютных цифрах это близко к реальности, — ЦОД так же обслуживает и частных клиентов. Самым простым примером последних может служить размещение своего сервера/серверов в стойке за определенную плату, что по сути является арендой места, либо целиком арендой физического сервера.

Цели и задачи

Изначальной целью почему-то заявляется снижение совокупной стоимости IT-инфраструктуры для того же бизнеса за счет сокращения расходов на администрирование, перераспределение нагрузок и прочее прочее.

На самом деле это не совсем так, благо цена на обслуживание инфраструктуры и мощностей заложена в стоимость аренды юнита (и всех услуг) в дата-центре, равно как и почти все остальные накладные расходы, что с этим связаны. Бизнес не работает себе в убыток, пускай и выигрывает на “расходниках” за счет плотности, инфраструктуры и оптовости.

Единственно-разумной и точной целью существования центров обслуживания и хранения данных является обеспечение стабильной и бесперебойной работы всего размещенного в нём сетевого, серверного и иного оборудования. В общем и целом это можно назвать uptime, про который мы еще поговорим далее.

Ресурсы и мощности, масштабируемость и стоимость, размеры и люди, — это второе. Стабильность и бесперебойность, — первое.

Немного лирики о взлётах и падениях

Историю, которую Вы несомненно знаете где найти и без автора статьи, начиналась с больших компьютерных комнат, продуманных настолько, насколько это возможно. Если Вы когда-то были в научных лабораториях или объектах строго режима (особенно это военка), то примерно можете себе это представить.

Множество разумно проложенных кабелей, особое расположение самих компьютеров, строгие инструкции, продуманные пространства, освещение и многое другое, — это всё то, что изначально было заложено в основу будущих ЦОД’ов.

Со временем, конечно же, с удешевлением оборудования и другими переломными для индустрии моментами, всё это кое-где перебиралось в серверные (часто не очень квалифицированные) и прочее прочее, и, казалось бы, что скоро в дата-центрах не будет нужды, но жизнь расставила всё по своим местам, — появился интернет (бум роста ЦОД-ов пришелся на 1994—2003 года), высокопроизводительные сервера/сети/системы и ресурсоемкие задачи для них и нечеловеческая необходимость в вышеупомянутой стабильности и бесперебойности работы с чем простые серверные, само собой, не справлялись.

Цена нескольких секунд простоя IT-инфраструктуры стала стоить нещадных денег, следовательно возрос спрос, появилось предложение и ЦОД’ы не то чтобы стали расти как на дрожжах, но стали появляться, масштабироваться и работать больше, лучше и эффективнее.

Т.е стало еще более жизненно необходимо не просто обеспечивать постоянную работу, но и делать её эффективной (теплоотвод, энергопотребление), быстрой и поддерживать постоянную связь с внешним миром за счет магистральных и сопутствующих каналов.

Что же это такое

Как Вы уже поняли, дата-центр, — это специализированные помещения. Точнее, — это специализированное здание с помещениями. Точнее, — это специализированная территория со всеми необходимыми коммуникациями + инфраструктурой + помещениями, способная не просто вместить (хранить) в себя все те сервера, сети и другое оборудование, но и обеспечивать выше заявленные цели, а особенно уже несколько раз упомянутый uptime.

Логичным образом дата-центры требуют больших затрат, как на этапе строительства, так и в процессе обслуживания, но не только (и не столько) финансовых, сколько логистических на всех уровнях, а также, что естественно, соответствия стандартам, суровый минимум которых представляет из себя следующий список:

1. TIA-942 — Telecommunications Infrastructure Standard for Data Centers;
2. TIA-568-C — Telecommunications cabling standards, used by nearly all voice, video and data networks;
3. TIA-569-B— Commercial Building Standards for Telecommunications Pathways and Spaces;
4. TIA-607-B — Commercial grounding — earthing — standards;
5. TIA-598-C — Fiber opticcolor-coding);
6. TIA-222-G — Structural Standard for Antenna Supporting Structures and Antennas;
7. TIA-602-A — Data Transmission Systems and Equipment, which standardized the common basic Hayes command set;
8. TIA-102 — Land Mobile Communications for Public Safety (APCO/P25).

Сами стандарты не взяты с потолка и связаны с компанией Telecommunications Industry Association, которая в свою очередь занимается их формированием и проверкой. Такие себе ребята, которые проверяют отели на пятизвездочность, только вот тут не отели, а ЦОД’ы.

ДЦ (дата-центр), если брать его не как здание/помещение, а территорию и говорить обобщенно, состоит из:

• Информационной инфраструктуры, — сервера, компьютеры и пр;
• Телекоммуникационной инфраструктуры, — взаимосвязь, сети и коммуникации;
• Инженерной инфраструктуры, — условно говоря, всё остальное, т.е кондиционеры, бесперебойники, противопожарка и тп, т.е “обвязка”, которая требуется для нормального функционирования.

А вот теперь, когда мы поговорили с Вами про общее понятие и определение, про представление и стандарты, соответствия, содержимое и пр, а так же чуть чуть затронули историю, то есть смысл поговорить и о второй части, — классификации. Она же Tier.

Вводная и определения

Tier , как ни странно, не является аббревиатурой и условно говоря считается “уровнем”. Вообще говоря, — его стоило бы назвать стандартом, в соответствии с которым классифицируется тот или иной дата-центр, но в стандарт входят подстандарты, каждый из которых определяет… Нет, не так.

Скорее тут будет уместно, как уже я пытался применить метафору выше, — это звёздочка как у отелей. Больше звёздочек, — выше качество по всем параметрам, что в эти звёздочки входят. Питание, охрана, уборка, вот это вот всё.

Итого, центры обработки данных (ЦОД) распределяются по 4 категориям – Tier 1, Tier 2, Tier 3 и Tier 4 (Tier 4– наивысшая категория).

Принято считать, что 4-ой нет в природе, но постепенно по ней начинают сертифицировать и упор там большей частью ориентирован на местоположение в пространстве (глобально и локально) в целях, в частности, защиты от природных катаклизмов. Почти себе дублирование природы 🙂

Сами центры делятся по размерам, надежности и предназначению:

• По размерам, — бывают модульные, большие, маленькие, средние и контейнерные. В общем и целом ничего особенного, кроме первых и последних;
• По надежности, — об этом ниже, уровни надежности определяются стандартами и пр;
• По предназначению, — для компании или для всех желающих, зависящие от провайдера или нет и тп.

Табличная классификация

Автор заранее предупреждает, что описанную ниже табличную классификацию он пишет так, как её «‘помнит». Гугл подсказывает, что помнит верно.

Но насколько сместились общие параметры соответствия (обратите внимание на доли) сказать может разве что сами Telecommunications Industry Association.

По поводу N:

• (N) — отказы оборудования / тех.работы приводят к остановке работы всего ДЦ, часто нет резервных каналов, питания и тп;
• (N+1) — чуть больше резервирования (обычно по питанию), но всё равно всё встаёт, если что;
• (2N) — прилично резервов, один обычно в работе во время тех.работ, второй работает и наоборот, есть горячая замена инженерки и пр;
• (2(N+1)) — все резервные каналы (питание, коммуникации, сети, связь и пр), причем задублирован и основной и дополнительный (не только канал, но и системы), т.е если в ходе тех работ падает две системы дублирования (основная и доп., то есть еще две) и вообще можно кинуть в ДЦ ядерную бомбу 🙂

Теперь к словесному варианту.

Словесная квалификация

Давайте теперь разберемся, что тут к чему, собственно, на словах.

• Первый Tier, — базовый уровень, согласно классификации, актуальной в 1960-е и 1970-е годы. В общем и целом это небольшая одиночная уютная серверная с печеньками;
• Второй, — большая серверная в нормальном (фальшпотолки, кондиционеры, ибп, плинтуса и тп) её исполнении и помещении (или нескольких), где есть дополнительные компоненты (N+1) активного оборудования, стойки и тп;
• Третий, — полноценный и пока самый часто встречающийся ЦОД, где используется своя территория, здание (или несколько), охрана, все необходимые системы и коммуникации, дублируется распределение потоков этих систем и коммуникаций, в частности это касается трубопроводов охлаждения, каналов связи в здании, питание во всех его смыслах и на любой случай;
• Четвертый, — всё есть, плюс многократное дублирование всего, и дублирование дублей этого всего. Кто бы что ни говорил, как уже говорилось выше (простите за тавтологию), — в природе в общем-то не встречается.

Помимо этого стоит знать, что самые популярные коммерческие ЦОД, – это Tier 2 и Tier 3.

У Tier 1 отсутствует необходимое резервирование, а Tier 4 чаще всего является частным… кхм, дата-центром.

Помимо уровня резервирования и надежности, собственно, Tier 2 и Tier 3 различаются еще и наличием собственной территории, здания, других особенностей, а именно:

Стоит отметить, что человеческая сетевая инфраструктура начинается на третьем уровне Tier, несмотря на то, что построена в общем и целом достаточно базово, — резервирование внутренних и внешних каналов играет большую роль.

Особенно выигрывает 3-йка, если дата-центра компании, что им владеет, два или больше и оба они Tier 3 (с разными каналами наружу, но парными между друг другом).

Послесловие

Стоит понимать, что сертификация уровня Tier присваивается в три этапа:

• Разработка документации на постройку ЦОДа;
• Строительство;
• Обслуживание.

Нужно умудриться получить сертификацию на всех этапах, особенно на втором и последнем. Иначе получается, что задумали всё верно, а вот всё остальное это ад и ужас, — какие тут многозвёзд. Как с отелями в общем, начертили хорошо, построили средне, обслуживание хорошее, а вот повар… Ну Вы поняли.

Источник: habr.com

Функция двух переменных.
Область определения и линии уровня

До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента. Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные. Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

либо , или же другой стандартной буквой:

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости, то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.

Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения.

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть. Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .

Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:

Как найти область определения функции двух переменных?

Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!

Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:

Найти область определения функции

Решение: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ: вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой

Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж.

Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.

Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ: полуплоскость

Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость. Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.

Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!

Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти область определения функции

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Решение: легко понять, что такая формулировка задачи требует выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств.

Сначала чертим линию, которую задаёт соответствующее равенство. Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое, то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром.

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство, таким образом, точка не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:

Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг с центром в начале координат, радиуса .

Ответ: внешняя часть круга

Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность:

На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над плоскостью (ближний и дальний от нас октанты), местами – под плоскостью (левый и правый относительно нас октанты). Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»), о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.

Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс, гиперболу или параболу.

Идём на повышение:

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .

С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства: чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое, то сама прямая также будет являться решением.

Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.

Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:

Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.

Ответ: область определения:

К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.

Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства. Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:

Найти область определения функции

Решение: используя формулу разности квадратов, разложим подкоренное выражение на множители: .

Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)

Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.

Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь правый «уголок» не является решением системы .

Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.

И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.

В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!

Ответ: область определения представляет собой объединение решений систем .

Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.

А это ваш орешек:

Найти область определения функции

Хороший студент всегда скучает по логарифмам:

Найти область определения функции

Решение: аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .

Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .

Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.

Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:

Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:

мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе привидение высшей математики…

Ответ:

Следующий логарифм ваш:

Найти область определения функции

В ходе решения придётся построить параболу, которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.

Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:

Найти область определения функции

Решение: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:

Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств:

Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:

Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.

Ответ: область определения представляет собой решение системы

Найти область определения функции

В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.

На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу. Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид, «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук), и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.

Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .

Определение: линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение: исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна). Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку.

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности):

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса.

Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!

Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности):

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .

И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :

– окружность с центром в точке радиуса 3.

Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:

Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)

Ответ: линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание: при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:

На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Найти и построить линии уровня графика функции при . Охарактеризовать семейство линий уровня и положение поверхности в пространстве.

Тут в отличие от предыдущей задачи даны конкретные значения «зет», для которых надо построить линии, и придумывать ничего не надо. Кажется слишком простым? Впечатление обманчиво – далеко не все читатели «гладко» оформят решение 😉 Да и на 3D-график будет взглянуть интересно!

Исследование формы поверхности с помощью линий уровня – метод эффективный, но довольно трудозатратный, поэтому крайне желательно знать, как выглядят распространённые на практике поверхности и быстро определять их по уравнению. На следующем уроке о пространственных поверхностях вы сможете не только почерпнуть много новой информации, но и научиться грамотно строить трёхмерные чертежи.

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, кроме того, знаменатель не может обращаться в ноль, таким образом: .
Ответ: полуплоскость , исключая саму прямую

Пример 5: Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

или, «разворачивая» неравенство:
Изобразим область определения на чертеже:

Ответ: – круг с центром в начале координат, радиуса .

Пример 7: Решение: найдём область определения:

Выполним чертёж:

Ответ: область определения представляет собой решение системы линейных неравенств

Пример 9: Решение: найдём область определения:

Неравенство справедливо, когда (1-я координатная четверть) или когда (3-я координатная четверть).
Условие выполнено для всех точек плоскости, кроме начала координат.
Изобразим область определения на чертеже:

Ответ:

Пример 11: Решение: найдём область определения:

Неравенству соответствует «внешняя» часть плоскости относительно параболы. Условие исключает из области определения ось абсцисс.
Выполним чертёж:

Ответ:

Пример 13: Решение: аргумент арккосинуса находится в пределах:

Вычтем «тройку» из каждой части:

Умножим каждую часть на –1. Так как умножение проводится на отрицательное число, значки «меньше либо равно» следует поменять на «больше либо равно»:

«Развернём» неравенство в привычном направлении:

Область определения представляет собой кольцо, ограниченное концентрическими окружностями :

Ответ: кольцо

Пример 15: Решение: Перепишем функцию в виде и найдём линии уровня для различных значений:
1) Если , то – гипербола, расположенная во 2-й и 4-й координатных четвертях.
2) Если , то . Полученное равенство справедливо в двух случаях: либо и – любое (это ось ординат), либо и – любое (это ось абсцисс). Таким образом, линия уровня представляет собой две пересекающиеся прямые (координатные оси).
3) Если , то – гипербола, расположенная в 1-й и 3-й координатных четвертях.
4) Если , то – гипербола, расположенная в 1-й и 3-й координатных четвертях.
Выполним чертёж:

Ответ: линии уровня функции имеют вид , где . Если , то линии уровня представляют собой гиперболы, причём:
– в случае они расположены 2-й и 4-й координатных четвертях, а сама поверхность – ниже плоскости ;
– в случае гиперболы расположены 1-й и 3-й координатных четвертях, а сама поверхность – выше плоскости .
При линия уровня распадается на две пересекающие прямые (координатные оси), то есть график функции проходит через них.
Примечание: трёхмерный чертёж данной поверхности есть на 3-м рисунке урока Экстремумы функций нескольких переменных (откроется на соседней вкладке).

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Источник: www.mathprofi.ru