Приближенные методы расчета в строительной механике
Большинство задач строительной механики , связанных с исследованием напряженно — деформированного состояния конструкций и их элементов ( стержней , пластин , оболочек ) сводится , как правило , к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений равновесия элемента , соответственно с одним или несколькими неизвестными .
Точное решение таких уравнений ( решение в замкнутом виде ) не представляет затруднений лишь в некоторых элементарных случаях . При решении реальных задач часто приходится сталкиваться с таким объемом вычислительных работ , что от точного решения отказываются , а во многих случаях точное решение задачи вообще невозможно , т . к . граничные условия или условия на контуре просто не выражаются в аналитической форме . Поэтому , как правило , при решении практических задач приходится прибегать к приближенным методам решения .
Приближенные методы решения задач могут быть разбиты на две основные группы :
Метод конечных элементов (FEM) vs метод контрольного объёма (FVM). В чём разница?
1. Вариационные методы , которые дают приближенные аналитические выражения искомой функции ( функции перемещений или функции внутренних усилий ).
2. Численные методы , которые дают значения искомой функции при тех или иных значениях аргумента .
К первой группе относятся вариационные методы Ритца , Бубнова — Галеркина , метод Треффца и другие .
Ко второй группе относятся метод сеток и его более совершенная модификация — метод конечных элементов , а также ряд графических и полуграфических методов таких , как , например , метод прямых , метод коллокаций и другие .
Преимущество вариационных методов заключается в том , что задача сводится обычно к решению системы двух , трех , редко четырех уравнений , которые дают хорошее приближение к действительному состоянию сооружения . К их недостаткам следует отнести то , что возможности вариационных методов ограничены сложными контурами и сложными законами распределения внешней нагрузки , т . к . применение вариационных методов требует , чтобы было , хотя бы в приближенной форме , определено аналитическое выражение внешней нагрузки , деформированной упругой поверхности элемента и др . условий задачи .
Численные методы , в сравнении с вариационными , имеют более универсальный характер , т . к . не требуют аналитических выражений условий задачи . Однако численные методы обладают рядом недостатков . Так , для получения удовлетворительного решения
они требуют нанесения на исследуемую область густой сетки или разбиения на достаточно большое число элементов , что неизбежно влечет за собой решение систем алгебраических уравнений с большим числом неизвестных , что становится возможным только при наличии ЭВМ . Кроме того , численные методы часто приводят к неточности решений , особенно в местах приложения сосредоточенных сил , при наличии острых углов , подкреплений и т . д ., т . е . там , где нарушается гладкость полей переменных .
Весьма существенным недостатком численных методов является то , что они не дают аналитического выражения искомой функции , а , следовательно , для определения параметров напряженно — деформированного состояния в данной области приходится
Основы метода конечных элементов. Часть 1. Идея МКЭ в задачах конструкционного анализа
вычислять эти величины во всех узлах стыковки элементов , т . е . получать массу ненужной информации для тех областей , которые нас совершенно не интересуют .
Таким образом , выбор метода расчета при рассмотрении конкретной упругой системы зависит от постановки задачи и исходных условий , а также от вооруженности расчетчика вычислительной техникой .
Метод конечных элементов (МКЭ)
Исторически возникновение МКЭ связано с идеей применения хорошо разработанных процедур для расчета статически неопределимых стержневых систем к решению континуальных задач .
Первоначально эта идея была высказана еще в 1933 году И . М . Рабиновичем , но развитие получила только в 70- х годах , с появлением ЭВМ .
Метод конечных элементов основан на мысленном представлении сплошного тела в виде совокупности отдельных конечных элементов , взаимодействующих между собой в конечном числе точек , которые в МКЭ принято называть узлами .
Система разбивается на простые конечные элементы ( КЭ ) напряженно — деформированное состояние которых исследуется заранее .
Так стержневые системы могут быть разбиты на элементы в виде прямолинейных или криволинейных стержней ( например , для расчета арок ) с различными условиями соединения элементов в узлах . В этом случае дискретная модель является точной копией исходной конструкции ( с учетом принятых технических гипотез ).
В расчетах пластин наибольшее распространение получили прямоугольные и треугольные конечные элементы . Здесь дискретная модель лишь приближенно отражает поведение исходной конструкции .
Заметим , что даже при одном и том же числе узловых точек различные схемы
дискретизации исходной конструкции порождают разницу в окончательных результатах расчета . К сожалению , заранее сказать , какая из возможных схем дискретизации приведет к наименьшей погрешности расчета , невозможно .
Число степеней свободы КЭ , а в конечном итоге число неизвестных МКЭ , определяется количеством наложенных в узлах дополнительных связей .
Источник: studfile.net
Метод конечных элементов — современный метод построения расчетных схем
Расчетная схема содержит информацию о топологии (взаиморасположении конструктивных элементов), геометрии системы, сечениях и материале элементов, нагрузках.
В задачу расчета входит определение перемещений, усилий (напряжений) в элементах на основе этой информации.
Решение этой задачи основывается на имеющихся дифференциальных уравнениях, связывающих перемещения или усилия с нагрузкой. Так, для изгибаемой балки (рис. 17.7) дифференциальные уравнения имеют вид
где Е — модуль упругости материала; J — момент инерции (одна из характеристик сечения элемента).
Для плоской задачи теории упругости (балка-стенка, диафрагма, стена — рис. 17.8) дифференциальные уравнения имеют вид
где D = ?8/(1 — р 2 ) — приведенная жесткость пластинки; и = и(х), v = v(x) — искомые перемещения вдоль осей х и у Е — модуль упругости материала; 8 — толщина пластинки; р — коэффициент Пуассона; р(х) — распределенная по области пластинки нагрузка вдоль оси х р(у) — распределенная по области пластинки нагрузка вдоль оси у.
Решить дифференциальное уравнение — это значит найти непрерывные функции перемещений и(х), v(y), zv(x), или усилий М(х)у или напряжений а(г/). Однако это можно сделать только для ограниченного очень простого класса задач, например для сжато-растянутого отдельного стержня или для изгибаемой балки. На практике, как пра-
вило, сложные конструкции, условия опирания, нагрузки делают реализацию такого подхода невозможной. Поэтому для решения такого класса задач применяют численные методы. Идея любого численного метода заключается в нахождении искомых параметров напряженного состояния (усилий, напряжений, перемещений) в конечном количестве точек.
Как правило, это узлы сетки, нанесенной на рассчитываемую область. Значения искомых параметров между узлами находят на основе простой или сложной интерполяции. Так, для решения дифференциальных уравнений (17.2) можно применить метод конечных разностей. Для этого на область балки-стенки накладывают сетку (рис. 17.9), определяют неизвестные перемещения или усилия в узлах этой сетки, заменяя непрерывные дифференциальные операторы
(например, д 2 и/д:г) дискретными аналогами — = — L —-—*
ди щ — щ. 1 или — = —:—. 1 о гд а
ох | И
После того как для каждого узла сетки будут составлены конечно-разностные аналоги дифференциальных операторов, уравнения (17.2) можно будет представить в виде системы линейных уравнений. По найденным значениям перемещений в узлах сетки можно определить другие параметры напряженно-деформированного состояния (НДС).
Все задачи строительной механики являются вариационными. Это значит, что решение дифференциальных уравнений (17.1) можно заменить поиском минимума функционала
В строительной механике стержневых систем это выражение известно как принцип равенства работ внутренних и внешних сил. Поиск минимума этого функционала осуществляется вариацией возможных перемещений. Поэтому методы, основанные на решении уравнения (17.4), называются вариационными, а в строительной механике такой подход известен как принцип возможных перемещений. Как правило, задача в постановке (17.4) также решается численными методами, т.е. производные заменяются разностными аналогами, подобно выражению (17.3).
Конечно-разностные и вариационно-разностные методы основаны на дискретизации (замене непрерывной функции ее точечными значениями) дифференциальных уравнений. Здесь происходит некоторое абстрагирование от самого рассматриваемого объекта.
Метод конечных элементов (МКЭ), основы которого описаны в гл. 14, основан на дискретизации самого объекта, который представляется в виде отдельных конечных элементов. Каждый конечный элемент имеет свои размеры, же- сткостные характеристики, нагрузки, законы интерполяции узловых значений параметров НДС. В этом основное отличие конечноэлеменетной сетки, которая представляет конструкцию в виде набора конечных элементов, от абстрактной разностной сетки, которая служит только для того, чтобы заменить дифференциальные операторы разностными аналогами. В настоящее время используется метод конечных элементов в перемещениях, т.е. в узлах сетки сначала находятся перемещения, а затем остальные параметры НДС.
Процедура решения задачи по МКЭ в перемещениях выглядит следующим образом:
- • нанесение конечноэлементной сетки;
- • назначение каждому конечному элементу необходимых характеристик — тип, жесткости, размеры и др.;
- • построение для каждого конечного элемента матрицы жесткости;
- • построение канонических уравнений МКЭ;
- • решение канонических уравнений и определение перемещений в узлах сетки;
- • определение параметров НДС (усилий, напряжений, перемещений) по всей области конструкции.
Эта процедура полностью соответствует механике стержневых систем. Если в докомпьютерный период методы строительной механики стержневых систем и методы теории упругости для расчета пластинчатых и трехмерных объектов были различны, то МКЭ решает эти задачи однотипно. Следовательно, возможно решение комбинированных конструкций, например расчет каркасного здания совместно с основанием: каркас — это стержневая система; плиты перекрытий, фундаментная плита и диафрагма — это пластинчатые системы; грунтовое основание — это трехмерный объект.
Архитектурная модель всегда оперирует трехмерными объектами: колонны, пилоны, плиты перекрытий, несущие стены и другие конструктивные элементы всегда имеют три размера.
МКЭ позволяет составить расчетную схему, состоящую только из трехмерных элементов, имеющих форму в виде параллелепипеда, призмы, произвольных выпуклых шестиугольников или восьмиугольников и т.п. Но это может привести к резкому увеличению размера матрицы канонических уравнений. На рис. 17.10, а показана консольная балка в виде отдельного стержня, а на рис. 17.10, б — конечноэле-
ментная модель этой балки, состоящая из трехмерных элементов.
Если рассчитывать эту балку, используя предпосылки механики стержневых систем, а именно гипотезу плоских сечений, то ее НДС описывается выражением типа (17.1) или (17.4) и ее конечноэлементная модель может состоять из одного конечного элемента — стержня, а количество неизвестных перемещений будет равно шести (в узле А три линейных перемещения и три угла поворота относительно осей х, у, z). В этом случае решения задачи по МКЭ и методами строительной механики будут совпадать и будут точными решениями уравнений 17.1 и 17.4.
Если использовать трехмерную модель (см. рис. 17.10, б)у то, чтобы добиться приемлемой точности, необходима достаточно густая конечноэлементная сетка.
Числовой пример. Пусть параметры задачи, приведенной на рис. 17.10, имеют следующие значения: / = 6 м, h = 0,8 м, b = = 0,4 м, Ру = 100 кН, Pz = 40 кН, материал балки — бетон с модулем упругости Е = 3-10 7 к11/м 2 . Точное значение перемещений узла А, полученное на основе методов строительной механики стержневых систем или по МКЭ с использованием КЭ в виде стержня, составит uoz= 2,250 см, иау = 1,406 см.
Если решать эту задачу по МКЭ на основе трехмерной модели (см. рис. 17.10, б), то при разбиении стержня по длине / на 10 частей, но ширине Ь на четыре части, по высоте h на восемь частей, т.е. используя набор конечных элементов в виде паралле-
/ 600 Ь 40 _ h 80
лепипедов с размерами — = —— = 30 см, — = — = 10 см, — = — =
= 10 см, в результате решения получим uaz = 1,813 см, иау =
Таким образом трехмерная модель стержня, с одной стороны, резко увеличила количество расчетных узлов (5-9-20 = = 900), а с другой стороны, дала решение с существенной погрешностью. Такой же эффект можно наблюдать при использовании трехмерной модели пластин (плиты, оболочки, стены) по сравнению с их двумерными моделями. Количество расчетных узлов, а значит, и количество неизвестных перемещений очень влияет на качество решения задачи. Несмотря на то что современные программные комплексы (ПК), например ПК ЛИРА-САПР, могут справиться с расчетными схемами, содержащими несколько миллионов неизвестных, применение таких расчетных схем крайне нежелательно.
Во-первых, большеразмерная матрица канонических уравнений может привести к большим погрешностям при ее решении.
Во-вторых, решение задачи требует большого количества времени.
В-третьих, расчетная схема, содержащая большое количество узлов и элементов, затрудняет ее синтез и анализ, например полученные напряжения в конечных элементах по трехмерной схеме (см. рис. 17.10, в) необходимо будет для дальнейшего анализа и конструирования привести к действующим на сечение изгибающим моментам и поперечным силам, т.е. понадобятся дополнительные довольно громоздкие процедуры, в то время как в стержневой расчетной схеме эти усилия получаются естественным образом.
Таким образом, одним из основных этапов преобразования трехмерной архитектурной модели в расчетную схему является замена трехмерных элементов, у которых один размер (длина колонны или балки) превалирует над двумя другими (размеры сечения), на одномерный элемент (стержень) с соответствующими жесткостными характеристиками сечения, а трехмерных элементов, у которых два размера (размеры плит и стен, характеризующие их площадь) превалируют над размерами их толщины, — на двумерные элементы (пластины).
Дальнейшим важным этапом получения расчетной схемы является нанесение конечиоэлементной сетки. С одной стороны, эта сетка должна быть достаточно густой, чтобы результаты расчета были бы приемлемы, с другой стороны, большое количество узлов, а следовательно, и неизвестных перемещений может привести, как указывалось выше, к большим погрешностям при решении системы линейных уравнений МКЭ.
В местах концентрации усилий или напряжений (места опирания плит на колонны, угловые зоны стены у прямоугольного отверстия и др.) желательно сгущать конечноэлементную сетку. Эта процедура не обходится без применения треугольных конечных элементов, которые обусловливают значительно меньшую точность решения задачи по сравнению с четырехугольными элементами. Кроме того, треугольные элементы в местах сгущения имеют вырожденную конфигурацию (большая неравномерность величин узлов и сторон треугольника), что также влияет на точность решения задачи.
Все эти порой противоречивые требования МКЭ к построению расчетной схемы реализованы в программе САПФИР- Конструкции.
Источник: studme.org
Основные идеи метода конечных элементов
В процессе проектирования нового и модернизации существующего подвижного состава большое внимание уделяется оценке прочности вагонных конструкций с целью безусловного обеспечения требований безопасности при перевозке пассажиров и грузов железнодорожным транспортом.
Большинство современных методов проектирования базируются на использовании метода конечных элементов (МКЭ), позволяющего эффективно оценивать нагруженность отдельных элементов, узлов и всего вагона в целом, проводить локализацию зон концентрации напряжений и, в конечном итоге, улучшать технико-экономические показатели вагона. На базе МКЭ также может быть получена информация для прогнозирования долговечности вагонов и установления условий их безопасной эксплуатации.
Грамотный инженерный подход к использованию МКЭ позволяет существенно сократить трудозатраты на проектирование нового и модернизацию существующего подвижного состава.
Целью учебного пособия является изложение основ МКЭ и реализующего его программного комплекса, необходимых для практической работы по оценке прочности вагонных конструкций на современных ЭВМ.
Идея и область применения метода конечных
Элементов
Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возникиз строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются математическим обоснованием МКЭ, т. е. проводят теоретический анализ его сходимости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают довольно сложные технические задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием применяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы проверяют на известных точных решениях.
Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как было доказано (1963 г.), что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея—Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.
Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с помощью этого метода задач распространения тепла, задач гидромеханики и, в частности, задач о течении жидкости в пористой среде.
Область применения МКЭ существенно расширилась, когда было показано (1968 г.), что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т. к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию быстродействующих ЭВМ.
Более подробно история возникновения и прикладная теории МКЭ изложены в работах [1-6].
Кратко изложим сущность МКЭ и основные этапы его практической реализации.
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину (перемещение, температура, давление и т. п.) можно аппроксимировать моделью, состоящей из отдельных элементов (участков). На каждом из отдельных элементов исследуемая непрерывная величина аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией, которая строится на значениях исследуемой непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемого элемента.
В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна, и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что известны числовые значения этой величины в некоторых внутренних точках области (в дальнейшем эти точки мы назовем «узлами»). После этого можно перейти к общему случаю.
Чаще всего при построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:
1. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
2. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.
3. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке первоначально считается известным, однако необходимо помнить, что эти значения в действительности еще предстоит определить путем наложения на них дополнительных ограничений в зависимости от физической сущности задачи.
4. Используя значения исследуемой непрерывной величины в узловых точках и ту или иную аппроксимирующую функцию, определяют значение исследуемой величины внутри области.
Поясним сказанное выше на примере исследования распределения температуры в стержне. В общем случае распределение температуры неизвестно, и мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительного шага.
Первоначально считают значения температуры в некоторых точках в пределах стержня известными. Определяют множество узлов и значения температуры в этих узлах, которые теперь являются переменными, т. к. они заранее неизвестны. Область (в нашем случае – длина стержня) разбивается на элементы, для каждого из которых определяется аппроксимирующая функция.
Узловые значения температуры должны быть теперь «выбраны» таким образом, чтобы с учетом граничных условий (например, значений температуры на концах стержня) обеспечить наилучшее приближение к истинному распределению температуры вдоль стержня. Этот «выбор» осуществляется путем минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функция, связанная с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температуры. В прочностных задачах, где определяются поля перемещений, деформаций и напряжений, минимизируется потенциальная энергия деформированного тела.
Аппроксимирующие функции чаще всего выбираются в виде линейных, квадратичных или кубических полиномов. Для каждого элемента можно подбирать свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранить непрерывность величины вдоль границ элемента. Этот полином, связанный с данным элементом, называют «функцией элемента».
С этой точки зрения конструкцию можно рассматривать как некоторую совокупность конструкционных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, используя известные приемы строительной механики, можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.
В сплошной среде число точек связи бесконечно, и именно это составляет основную трудность получения численных решений в теории упругости. Понятие «конечных элементов» представляет собой попытку преодолеть эту трудность путем разбиения сплошного тела на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов. Если такая идеализация допустима, то задача сводится к обычной задаче строительной механики, которая может быть решена численно.
Таким образом, при использовании МКЭ решение краевой задачи для заданной области ищется в виде набора функций, определенных на некоторых подобластях (конечных элементах).
1.1 Основные этапы практической реализации
Как было отмечено ранее, согласно МКЭ, модель конструкции сложной формы подразделяется на более мелкие части (конечные элементы) сравнительно простой формы, в пределах которых ищется приближенное решение. Результатом такого моделирования обычно является поле напряжений и смещений в целой конструкции.
Таким образом, решение задачи с применением МКЭ состоит из следующих основных этапов (рисунок 1):
Рисунок 1 – Этапы решения задач с применением МКЭ
1) идентификация задачи, присвоение ей имени; создание чертежа конструкции и нагрузок; 2) создание геометрии модели, пригодной для МКЭ; 3) разбиение модели на сетку конечных элементов; 4) приложение к модели граничных условий (закрепление на границе или граничные нагрузки); 5) численное решение системы уравнений (автоматически); 6) анализ результатов.
Этапы 1, 2, 3, 4 относятся к препроцессорной стадии, этап 5 – к процессорной стадии, этап 6 – к постпроцессорной стадии.
Построенная модель делится на конечные элементы достаточно простой формы. Имеются несколько типичных форм конечных элементов, в которых поле смещений определяется по смещениям узлов с помощью некоторых интерполяционных функций. По вычисленным таким образом смещениям определяются поля напряжений и деформаций.
Наиболее трудоемкий этап решения задач с помощью МКЭ — это создание конечно-элементной модели на стадии препроцеcсорной подготовки (preprocessor), т. к. автоматическое построение сетки элементов не гарантирует от появления ошибок. Правильное приложение нагрузок и граничных условий также представляет определенные трудности.
Пятый из перечисленных выше этапов (численное решение системы уравнений) выполняется автоматически и, как правило, особых трудностей не вызывает (за исключением систем с плохо обусловленной матрицей жесткости).
Шестой этап (анализ результатов) существенно облегчается имеющимися мощными инструментальными средствами визуализации результатов.
Рисунок 2 – Разбивка конструкции на КЭ
Учитывая то, что в конечно-элементных задачах неизвестными являются перемещения в узлах, а также то, что в трехмерных задачах каждый узел тетрагонального элемента может иметь перемещения по трем направлениям (Рисунок2), система уравнений равновесия, записанная в матричной форме, может иметь размерность, достигающую 100000 и более. Однако для современных ЭВМ решение таких систем уравнений – вполне посильная задача. При составлении уравнений равновесия учитывается, что сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равна нулю, а сумма внутренних сил равна внешней силе с обратным знаком.
В трехмерных моделях число узлов обычно больше числа элементов, а число степеней свободы в 3 раза больше числа узлов (за исключением числа кинематических граничных условий).
Матрица жесткости [К] связывает векторы узловых смещений и нагрузок .
Матрица жесткости является симметричной диагональной матрицей, что существенно облегчает ее обработку.
1.2 Конечные элементы
Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конструкции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов, соединенных между собой в вершинах (узлах) (Рисунок 3). Силы действуют в узлах. Конечный элемент не является «абсолютно жестким» телом.
Рисунок 3 – Конечные элементы
Конечно-элементная модель предполагает, что напряжения и деформации имеются и вне данного конечного элемента. Имеются несколько наиболее употребительных типов конечных элементов (Рисунок 3): брус (А), стержень (В), тонкая пластина или оболочка (С), двумерное или трехмерное тело (О). Естественно, что при построении модели могут быть использованы не один, а несколько типов элементов.
Достоверность расчетов по МКЭ зависит от многих факторов, в том числе и от количества конечных элементов. Однако, если напряжения не меняются значительно в пределах модели, то количество конечных элементов несущественно влияет на точность вычисления напряжений.
Рисунок 4 – Типы конечных элементов
Конечные элементы могут быть линейными (элементы первого порядка) или параболическими (элементы второго порядка) (Рисунок 4). Линейные элементы имеют прямые стороны и узлы только в углах. Таким образом, минимальное число узлов трехмерного элемента равно 4. Параболические элементы могут иметь промежуточный узел вдоль каждой из сторон.
Именно благодаря этому стороны элемента могут быть криволинейными (параболическими). При равном количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т. к. они более точно воспроизводят криволинейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Однако расчет с применением конечных элементов высоких порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени.
Рассмотрим самый простой трехмерный линейный элемент с 8 узлами (Рисунок 5). Каждый из узлов имеет 3 степени свободы. Это означает, что необходимо рассмотреть 24 узловые смещения и столько же узловых сил. Таким образом, размерность матрицы жесткости [К], связывающей вектор узловых смещений с вектором узловых сил, будет [24 х 24].
Компоненты матрицы жесткости прямо пропорциональны модулю упругости. Таким образом, нулевой модуль упругости означает отсутствие конечного элемента (Рисунок 6). В этом случае деление на нулевой модуль упругости приведет к значительным погрешностям.
Бесконечно большой модуль упругости означает, что данный элемент является абсолютно жестким. Кроме того, если теория упругости допускает бесконечные напряжения (например, в вершине трещины), то в МКЭ напряжения всегда конечны.
Рисунок 5 – Матрица жесткости трехмерного элемента с 8 узлами
Рисунок 6 – Пример отсутствия КЭ
Несколько замечаний относительно соотношения между сторонами элемента. «Длинные» элементы с соотношением сторон 2 и более (Рисунок 7) можно использовать, если не ожидаются большие градиенты смещений, деформаций и напряжений, т. е. вдали от зоны действия концентраторов напряжений.
Рисунок 7 – Соотношения длин КЭ
Если конструкция и нагрузки симметричны относительно оси, смотри Рисунок 8, задача может быть решена с помощью плоских симметричных конечных элементов.
Рисунок 8 – Симметричные нагрузки
Построение сетки конечных элементов
Одним из наиболее важных этапов в конечно-элементном анализе является построение на модели сетки из конечных элементов, т. е. разделение всей модели на маленькие кусочки (конечные элементы), связанные между собой в узлах.
В программном комплексе ANSYS имеется два основных метода построения сетки: построение произвольной сетки (рисунок 9а) и построение упорядоченной сетки (Рис. 9б). Произвольная сетка строится автоматически, при этом соседние элементы могут существенно отличаться по размерам (Рис. 9а).
Упорядоченная сетка строится путем деления геометрических элементов модели на некоторое число частей (рис.9 б). В автоматически построенных сетках с большим числом элементов число узлов преобладает над числом элементов. Отношение между узлами и элементами, примерно, 2:1 для плоских произвольных сеток и 6:1 для произвольных трехмерных сеток с четырехгранными элементами.
Рисунок 9 – Методы построения сетки в программе «ANSYS»
а) построение произвольной сетки; б) построение упорядоченной сетки
Рисунок 10 – Зависимость количества КЭ от размеров элемента
Рисунок 11 – Рекомендации по разбивке конструкции на КЭ
Очевидно, что чем меньше линейный размер конечного элемента А (Рисунок 10), тем большее количество элементов в модели, при этом время вычислений существенно возрастает, а ошибки анализа уменьшаются. Однако, ошибки уменьшаются не до нуля, т. к. с увеличением числа элементов накапливаются ошибки округления в ЭВМ.
Практика расчетов с применением МКЭ позволяет дать следующие рекомендации (Рисунок 11):
1) линейные элементы требуют более частой сетки, чем квадратичные элементы (с одним промежуточным узлом) или кубичные (с двумя промежуточными узлами);
2) упорядоченная сетка (б) является более предпочтительной, чем произвольная сетка (а);
3) прямоугольная сетка с 4 узлами (в) более предпочтительна, чем сетка с треугольными элементами (б);
4) сетка треугольных элементов с промежуточными узлами (г) имеет, по крайней мере, ту же самую точность, что и сетка прямоугольных элементов с 4 узлами (в);
5) прямоугольная сетка с 8 узлами (д) является более предпочтительной, чем сетка треугольных элементов с промежуточными узлами (г), несмотря на больший размер прямоугольных элементов; 6) аппроксимация смещений кубическим полиномом (е) не требует более мелкой сетки.
Необходимо помнить, что МКЭ — приближенный метод, точность которого зависит от правильного выбора типов и размеров конечных элементов. Так, например, более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений (Рис. 12).
В то же время более редкая сетка может применяться в зонах с более или менее постоянными деформациями или напряжениями, а также в областях, не представляющих особого интереса. В связи с этим исследователь должен уметь предвидеть области концентрации напряжений.
Рисунок 12 – Сетка КЭ в зоне высокого градиента напряжений
Рисунок 13 – Правило разбивки сетки КЭ в зоне высокого градиента
Необходимо заметить, что точность результатов анализа уменьшается, если размеры соседних элементов вблизи концентратора напряжений существенно различны (Рисунок 13).
Форма конечных элементов также влияет на точность вычислений. С этой точки зрения следует избегать слишком узких и вытянутых элементов (Рисунок 14), т. к. элементы с одинаковыми, примерно, сторонами дают меньшую ошибку.
Удачно Неудачно
Рисунок 14 – Примеры формы КЭ
Дополнительные сведения об ошибках, связанных с расположением, формой и размерами КЭ, приведены в п. 1.4 «Точность результатов».
Одновременно в сетке могут присутствовать треугольные и четырехугольные элементы, однако между ними не должно быть разрывов (Рисунок 15).
Рисунок 15 – Сетка КЭ
Для дальнейшего объединения элементов в сетку узлы последовательно нумеруются. Запрещается строить четырехугольные элементы с углами, больше 180°.
Рисунок 16 – Примеры КЭ.
1.3 Граничные условия
Задание граничных условий – один из ответственных этапов конечно-элементного анализа. Так, например, на модели (Рисунок 17), изображенные графические граничные условия в узлах А и В служат для того, чтобы перемещение указанных узлов модели соответствовали перемещениям тех же узлов натурной конструкции с учетом наложенных на них связями ограничений. При этом перемещения могут приобретать как нулевые (в узле А), так и не нулевые (в узде В) значения. Существуют также граничные условия, при которых задаются нагрузки (узел С).
Рисунок 17 – Граничные условия
Рисунок 18 – Приложение граничных условий
Граничные условия (перемещения или силы) прикладываются только к узлам (Рисунок 18). Максимальное число граничных условий, приложенных в узле, равно числу его степеней свободы – 3 силы или 3 перемещения.
Необходимо обратить особое внимание на то, что число граничных условий должно быть минимально необходимым (не меньше и не больше). Так, например, не следует фиксировать все степени свободы (все перемещения) в каждом узле элемента (Рисунок 19 а); не следует также прикладывать силу в узле в том же самом направлении, в котором в данном узле зафиксировано смещение (Рисунок 19 б); полное отсутствие закрепления вдоль какой-либо из осей (Рисунок 19 в) может привести при анализе к кажущемуся сдвигу вдоль этой оси вследствие неизбежных ошибок округления при численных расчетах. Для рассмотренных примеров правильные схемы граничных условий смотри Рисунок 19 (г, д).
Рисунок 19 – Число граничных условий
Схема размещения граничных условий зависит от вида нагружения (растяжение, чистый изгиб, сдвиг), смотри Рисунок 20.
Рисунок 20 – Схема размещения граничных условий
Если конструкция имеет оси или плоскости симметрии, то при назначении граничных условий необходимо это учитывать. Так, например, пресс с жесткими пуансонами, сжимающий куб из более мягкого однородного материала (Рисунок 21), имеет три плоскости симметрии. Очевидно, в этом случае нет необходимости моделировать всю конструкцию целиком.
Рисунок 21 – Пресс с жесткими пуансонами
Можно смоделировать только часть конструкции (1/4 или 1/8), имея в виду, что в точках на плоскостях симметрии соответствующие перемещения равны нулю. Это обстоятельство мы учитываем соответствующими граничными условиями в узлах элементов, лежащих на плоскостях симметрии (Рисунок 21б).
Выбор размеров элементов и граничных условий при построении сетки можно существенно упростить, если принять во внимание принцип Сен-Венана: две статически эквивалентные системы сил создают одно и тоже поле напряжений на расстоянии от их точек приложения, больше, чем характерный линейный размер поперечного сечения (b>a, Рисунок 22).
Рисунок 22 – Принцип Сен-Венана
Рассмотрим следующую ситуацию. Известно, что чрезмерно большие растягивающие напряжения являются основной причиной многих разрушений. В этом случае, если зона максимальных растягивающих напряжений находится вдали от точки приложения силы (например, как на схеме Рисунок 23), нет
Рисунок 23 – Расчетный случай
необходимости строить подробную сетку элементов вблизи этой точки, т.к. здесь действуют, в основном, сжимающие напряжения.
1.4 Точность результатов
Численный анализ, к которому относится и МКЭ, требует некоторой идеализации реальной конструкции. Поэтому, несмотря на мощное развитие вычислительной техники, результаты вычислений по МКЭ не свободны от ошибок. Использование вычислительной техники в роли «черного ящика», без понимания основных процессов и этапов вычислений, может привести к существенным ошибкам. К сожалению, не исключены также и ошибки операторов.
Приступая к конечно-элементному анализу, инженер должен понять:
К какой области анализа относится данная задача;
Какая часть всей конструкции должна исследоваться подробнее;
Какие упрощения можно допустить в данной задаче.
Естественно, это требует определенной квалификации исследователя.
Ошибки могут возникать на различных стадиях конечно-элементного анализа: при постановке задачи, дискретизации (построении модели), численном решении.
Ошибки постановки задачи могут возникать, когда выбранный тип конечных элементов или их размер не соответствует физическому поведению материала в конструкции. Несколько уменьшить эту ошибку (по крайней мере, ту ее часть, которая связана с размером конечного элемента) можно, используя автоматическое построение сетки. Однако основным источником ошибок при постановке задачи является некорректное задание граничных условий. Таким образом, успех конечно-элементного анализа зависит от точности воспроизведения на модели граничных условий, геометрии и свойств материала натурной конструкции.
Ошибки дискретизации возникают при замене реальной конструкции ограниченным числом конечных элементов (с учетом их формы и размеров).
Ошибки, связанные с численным решением систем уравнений, обычно менее значимы, чем перечисленные выше два типа ошибок.
При конечно-элементном анализе, как правило, неизвестными являются смещения, и результатом решения в этом случае будет вектор смещений в узле . Смещения в других точках элемента вычисляются интерполяцией.
После аппроксимации поля смещений (в пределах элемента) соответствующим полиномом, называемым «функцией формы», могут быть вычислены деформации и напряжения. Описанная схема вычислений показывает, что наибольшая точность достигается при определении смещений в узлах.
Деформации вычисляются дифференцированием соответствующих смещений, поэтому максимальная точность вычислений деформаций и напряжений будет в центре элемента. На рисунке 24 показана деформированная частица для случая чистого изгиба.
Рисунок 24 – Деформированная частица для случая чистого изгиба
Как видим, теоретическое и численное решение совпадает в центральной части конечного элемента.
Тип и количество элементов влияют на точность вычислений. Так, например, при вычислении силы в случае нелинейного анализа, при небольшом числе конечных элементов их количество существенно влияет на величину вычисляемой силы (Рисунок 25). Однако при увеличении числа элементов результаты стабилизируются.
Рисунок 25 – Зависимость типа КЭ от величины вычисляемой силы
Существует два метода конечно-элементного анализа: h-метод (h – длина стороны КЭ) и р-метод (р – порядок полинома аппроксимирующей функции). Для повышения точности решения h-метод требует увеличения числа элементов. В соответствии с р-методом для увеличения точности надо повысить порядок полинома аппроксимирующей функции. Так, например, на рисунке 26 элементы более высокого порядка демонстрируют и большую точность результатов по сравнению с линейными элементами (Рисунок 26 а).
Рисунок 26 – Зависимость результата от количества числа элементов
На точность результатов влияет также и ориентация сторон элементов. Для изгибаемой консольной балки увеличение числа элементов по высоте балки не дает повышения точности результатов (Рисунок 26 в). Гораздо лучшие результаты дает увеличение числа элементов второго порядка по длине балки (Рисунок 26 г).
Для получения достоверных результатов в зонах концентрации напряжений размер элементов должен быть меньше. На рисунке 27 показан фрагмент растягиваемой полосы с центральным отверстием. Известно, что максимальные напряжения действуют в сечении А-А, поэтому в окрестности данного сечения сетка элементов должна быть гуще, чем у левой границы полосы.
Рисунок 27 – Фрагмент растягиваемой полосы с центральным отверстием
1.5 Пример. Растяжение ступенчатого стержня
Поясним основные понятия МКЭ на простейшем примере осевого растяжения ступенчатого стержня. Данный пример сейчас будет приведен лишь в качестве иллюстрации, без подробных объяснений.
Рисунок 28 – Ступенчатый стержень
Ступенчатый стержень (Рисунок 28) с двумя ступенями одинаковой длины l и площадью поперечного сечения ступеней А1 и А2 жестко заделан с левого торца и нагружен на противоположном торце осевым усилием Р. Определить перемещения сечений 1, 2 и 3.
Разобьем стержень на два элемента (участка) 1, 2 и введем на границах элементов узлы 1, 2, 3, в которых будем отыскивать неизвестные перемещения u. Таким образом, ступенчатый стержень будем моделировать двумя последовательно соединенными стержневыми конечными элементами.
Рассмотрим отдельно стержневой элемент, изображенный на рисунке 29.
Рисунок 29 – Стержневой элемент
Он имеет длину l, площадь поперечного сечения А, в узлах приложены усилия Р1 и Р2, от которых эти узлы имеют осевые перемещения u1 и u2. Запишем для элемента на рисунке 29 соотношения, очевидные из курса сопротивления материалов:
или то же в матричной форме:
где Е – модуль упругости материала стержня.
Матрица , связывающая между собой в 1.2 узловые усилия и перемещения, носит название матрицы жесткости элемента.
Составим уравнение равновесия для всего стрежня, изображенного на рисунке 28, объединив соотношения для элементов 1 и 2, записанные с учетом (1.2). Так как стержень состоит из нескольких элементов, то естественно предположить, что матрица жесткости всего стержня должна включать в себя матрицы жесткости образующих его элементов. Для данной задачи главные диагонали матриц жесткости элементов должны совпадать с главной диагональю глобальной (общей) матрицы жесткости всего стержня и состыковываться в узле 2 (Рисунок 28).
На основании (1.2) общую систему уравнений равновесия можно записать в виде:
где ui – перемещение i-го узла всей системы. В (1.3) учтено, что усилие Р приложено в узле 3, а усилие F1 (реакция опоры) – в узле 1. Узел 2 свободен от внешних нагрузок.
Теперь следует наложить граничные условия в перемещениях, а именно: u1=0. Это достигается замещением 1-й строки и 1-го столбца нулями и помещением на главную диагональ любого числа, отличного от нуля:
Решением этой системы линейных алгебраических уравнений является:
Основные идеи метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) – это способ анализа поведения реальной конструкции при заданных нагрузках и перемещениях. Основной единицей представления конструкции в этом анализе является конечный элемент (КЭ) – геометрически упрощенное представление малой части физической конструкции. Модель конструкции создается при помощи конечных элементов.
МКЭ – один из основных способов, применяемых для решения задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела, теплопроводности, гидромеханики и др. Идея метода заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках.
Для МКЭ характерны: широкий диапазон применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и механическим характеристикам материалов, простота учета взаимодействия конструкций с внешней средой (механические и температурные нагрузки, граничные условия и т.д.), высокая степень приспособленности к автоматизации всех этапов расчета. Популярность метода объясняется также простотой его физической интерпретации и очевидной связью с методами Ритца и перемещений, широко применяемыми в механике сплошных сред и строительной механике.
Основы МКЭ были разработаны различными специалистами — математиками, физиками и инженерами, а сам термин конечный элемент появился в статье Клаффа, посвященной решению плоской задачи теории упругости [1].
Конечные элементы (КЭ) объединяются в модель в некоторых точках пространства, называемых узлами. В этих точках элементы соединяются и движутся совместно. Узлы, которые пронумерованы для того, чтобы их можно было отличить друг от друга, вместе с элементами осуществляют приближенное геометрическое описание сложной модели.
В зависимости от типа, ориентации и числа элементов, соединяющихся в узле, последний может противодействовать поступательным перемещениям и вращениям вдоль и относительно определенных направлений. Каждое отдельное возможное перемещение или вращение называется степенью свободы и представляет собой неизвестную величину, подлежащую определению. Таким образом, перемещение узла определяется его поступательными перемещениями вдоль глобальных осей координат X, У и Z и его вращениями относительно этих осей (т.е. узел может иметь всего 6 степеней свободы).
Созданная для расчета конечно-элементная модель – всего лишь приближенное представление реальной конструкции. Как во всех численных методах, расчет производится не для реальной конструкции, а для построенного упрощенного образа, т.е. модели. Таким образом, точность результатов конечно-элементного анализа зависит от качества разработанной модели.
В настоящее время возможности МКЭ значительно расширены [3] ‑ [5] что, несомненно, обусловлено появлением современных высокопроизводительных ЭВМ и программных комплексов, реализующих МКЭ.
Основное уравнение (система уравнений) МКЭ для решения задач статического нагружения имеет вид:
где [К] – глобальная матрица жесткости исследуемой конструкции;
– вектор приложенных статических нагрузок (сосредоточенных и распределенных);
Источник: megaobuchalka.ru
Метод конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики твёрдого деформируемого тела, теплообмена, гидродинамики, электродинамики и топологической оптимизации.
Источник: wiki2.org
МКЭ или МКО
Среди инженеров-расчётчиков, моделирующих течения жидкости и газа, уже давно идёт спор о том, насколько метод конечных элементов (МКЭ) подходит для решения задач вычислительной гидродинамики (CFD). Есть специалисты, которые твёрдо убеждены в превосходстве метода контрольного объёма (МКО) над методом конечных элементов. Но имеются ли научные основания у этого убеждения?
В общем-то, их нет. Разные задачи можно решать разными методами. Давайте узнаем, почему.
Наука, технология и традиция
Метод конечных элементов активно применяется специалистами по численному анализу для моделирования течений жидкости. Опубликовано огромное множество научных работ, посвящённых использованию МКЭ в CFD, в том числе новейших разработок для разрывных методов Галёркина (DG), которые являются разновидностью МКЭ с разрывными базисными функциями.
Исторически так сложилось, что в коммерческих CFD кодах обычно используется метод контрольного объёма. Чаще всего это связано с тем, что в основе всех крупных коммерческих CFD пакетов, как правило, лежит общий программный код. Отрасль вложила огромный объём труда и технологий в этот код. Разработаны различные методы для эффективного и точного расчёта и интегрирования потоков как на структурированных (например, состоящих из шестигранников), так и для неструктурированных (например, состоящих из тетраэдров) сетках.
И всё же не существует никакого теоретического или практического подтверждения гипотезы о преимуществе МКО над МКЭ. Во-первых, разработано множество вариаций метода контрольного объёма и метода конечных элементов, и в некоторых случаях они имеют много общего. Во-вторых, для практического применения программного обеспечения гораздо большее значение имеет реализация метода в расчётном коде. Можно утверждать, что расчётный код X справляется с определённой группой задач лучше, чем код Y. Однако это не связано с тем, что в одном коде используется МКЭ, а в другом — МКО. Давайте попробуем в этом разобраться.
МКЭ и МКО: что эффективнее?
Математические и численные модели
Рассмотрим обобщенную математическую задачу:
дополненную начальными и граничными условиями:
Здесь P — это дифференциальный оператор, u — зависимая переменная, F — источниковый член уравнения, f — функция, задающая начальное условие, B — оператор, а g — функция, описывающая граничное условие. Переменной x обозначен радиус-вектор с координатами (x, y и z).
Приведённое выше уравнение может быть основой математической модели, которая описывает, например, течение жидкости. Это уравнение является математической формулировкой законов сохранения импульса и массы. Как правило, математические модели, построенные на подобных законах сохранения и дополненные адекватными начальными и граничными условиями, ведут себя вполне корректно. Это означает, что поставленная математическая задача имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от входных параметров, то есть от источниковых членов, начальных и граничных условий.
Однако даже в этом случае поиск аналитического решения математической модели может оказаться чрезвычайно сложной или даже невыполнимой задачей. В частности, может быть крайне трудно найти решение в виде аналитического выражения, содержащего легко вычислимые операции (сложение, вычитание, умножение, деление). В этом случае на основе математической модели формулируется аппроксимирующая её численная модель. Уравнения численной модели затем можно решить вычислительными методами, реализованными в компьютерной программе.
МКЭ и МКО — это вычислительные методы, в которых используется пространственная дискретизация уравнений математической модели. Для дискретизации по времени обычно используется та или иная схема дискретизации обыкновенных дифференциальных уравнений. Для представленной выше математической модели можно построить следующую численную модель:
в которой начальные и граничные условия примут вид:
где h — это параметр дискретизации, например размер конечного элемента или контрольного объёма расчётной сетки.
Обратите внимание, что структурные компоненты сетки в одном случае называются элементами, а во втором — контрольными объёмами или ячейками.
Точность вычислительных методов характеризуется разными типами погрешностей или ошибок. Погрешность аппроксимации τ показывает, насколько точно численная модель соответствует математической:
Порядок аппроксимации численной модели показывает, как погрешность аппроксимации зависит от параметра дискретизации h. Чем меньше размер элемента или ячейки, тем точнее численная модель должна соответствовать математической модели. Если погрешность аппроксимации снижается при уменьшении h, тогда численная модель является устойчивой.
Погрешность дискретизации e определяется как разность между точным и численным решениями модельных уравнений:
Говорят, что вычислительный метод сходится, если численное решение приближается к точному при уменьшении h:
Порядок дискретизации p показывает, как быстро численное решение сходится к точному при уменьшении h.
Чем выше порядок дискретизации p, тем быстрее решение сходится к точному.
Существует ли какое-то принципиальное отличие в точности метода конечных элементов и метода контрольного объёма? Повышая степень базисных функций, мы, теоретически, можем получить любой порядок дискретизации метода конечных элементов (на практике, тем не менее, имеются другие ограничения). Фактически, метод конечных элементов чаще всего имеет второй или третий порядок дискретизации, а метод контрольного объёма — первый или второй.
В чём сходство и в чём отличия?
Запишем обобщённое уравнение переноса, которое является основой математических моделей гидродинамики:
В этом уравнении u обозначает аддитивную, удельную на единицу объёма физическую величину, например удельный импульс или плотность; соответственно, Γ — это плотность потока этой величины; например, плотность потока импульса, то есть удельный импульс, который переносится через единицу площади контрольной поверхности в единицу времени.
В рамках метода конечных элементов сначала получим интегральную форму уравнения, умножив члены уравнения на пробные функции φ и проинтегрировав полученное выражение по всей расчётной области:
Далее применим теорему Остроградского-Гаусса:
Здесь ∂Ω — это граница домена Ω, а n — вектор нормали к границе домена. После интегрирования по частям получим:
а значит уравнение (11) можно записать в следующем виде:
Мы получили следующее выражение:
Уравнение (14) можно использовать, чтобы преобразовать второе слагаемое в уравнении (10). Эти преобразования позволяют естественным образом учесть заданные граничные условия для плотности потока в интегральном уравнении. В дальнейшем, при реализации численных алгоритмов таким образом можно снять требование дифференцируемости для вектора плотности потока. В итоге получаем уравнение, которое является отправной точкой для метода конечных элементов:
Это выражение называется слабой формой исходного уравнения. Третье слагаемое в левой части уравнения представляет собой интеграл плотности потока Γ для величины u по всей внешней границе расчётной области ∂Ω. Решение слабой формы уравнения отвечает исходной задаче, только если оно получено для большого набора пробных функций φ. Чаще всего в качестве таких функций используются полиномы, однако можно выбрать и другие функции. Особым частным случаем является пробная функция с постоянным значением, например φ = 1. При использовании таких функций уравнение (15) примет вид:
Эта форма уравнения служит отправной точкой для метода контрольного объёма.
Таким образом, пока никакой разницы между методами конечных элементов и контрольного объёма нет. Мы показали, что уравнение метода контрольного объёма (16) — всего лишь частный случай более общей слабой формы (15), которая используется в методе конечных элементов.
Отличие состоит в дискретизации уравнений (15) и (16). В рамках метода конечных элементов выбирается конечное число пробных функций φ = φh и ставится условие, чтобы для всех этих функций выполнялось равенство (15). В рамках метода контрольного объёма выбирается конечное число контрольных объёмов Ω = Ωh и ставится условие, чтобы для всех этих объёмов выполнялось равенство (16). На рис. 1 и 2 показаны возможные варианты дискретных аналогов, полученных с помощью метода конечных элементов и метода контрольных объёмов, соответственно, когда для пространственной дискретизации используется триангуляция.
В наиболее распространённом на практике варианте метода конечных элементов тестовые функции отличаются от нуля только в некоторой окрестности узловых точек (локально заданные функции). В этом случае интегрирование пробной функции по всей расчётной области, фактически, сводится к интегрированию по элементам (например, треугольным) в окрестности узловой точки. На рис.
1, например, выделенный узел домена и элементы в его окрестностях, окрашены серым цветом. Плотность потока на границах описывается третьим слагаемым в левой части уравнения (15).
Эту величину необходимо учитывать только при интегрировании по элементам, некоторые грани (в 3D модели) или рёбра (в 2D модели) которых совпадают с внешней границей, поскольку на внутренних границах, разделяющих элементы, потоки взаимно компенсируются за счёт использования непрерывных базисных функций. На рис.
1 выписаны уравнения для внутренних элементов (выделенных белым, серым и зелёным цветами) и для граничных элементов (выделены голубым цветом), некоторые грани (в 3D) или ребра (в 2D) которых совпадают с внешней границей. В уравнении для выделенного узла, лежащего внутри расчётной области (см. рис. 1), ненулевой вклад в интеграл по Ω даст интегрирование только по ближайшим к узлу элементам. Для выделенного узла, лежащего на внешней границе, ненулевой вклад в интеграл по границе ∂Ω даст интегрирование только по двум ближайшим граничным элементам (выделены голубым цветом), тогда как ненулевой вклад в интеграл по области Ω даст интегрирование по трём близлежащим элементам, включая светло-зеленый элемент.
Рисунок 1. Вклад внутренних элементов (отмечены белым и серым цветами) в интеграл по области и вклад граничных элементов в интеграл по границе. В уравнениях для узла, лежащего в центре шестиугольника (закрашенного серым), используются базисные функции, отличные от нуля во всех ближайших элементах, то есть во всех элементах, закрашенных серым. В уравнениях для узла, лежащего на внешней границе области, используются базисные функции, отличные от нуля в ближайших граничных элементах, то есть элементах, у которых грани, рёбра или узлы лежат на внешней границе области (закрашены светло-зелёным и голубым). Ненулевой вклад при интегрировании потока по границе дадут только ближайшие элементы, рёбра которых лежат на внешней границе (закрашены голубым).
Выражение для дискретизации плотности потока внутри расчётной области Γh получим из уравнений сохранения для потока, например, из уравнения конвективной диффузии (в уравнениях гидродинамики диффузионный член описывается законом вязкого трения в уравнении сохранения импульса). Граничные условия, поставленные в конкретной задаче, позволяют получить соотношения для плотности потока на внешней границе в уравнении (15). Это соотношения используются при расчёте интегралов на граничных элементах (на рис. 1 показаны голубым).
Если теперь обратиться к стандартной реализации метода контрольного объёма, то здесь каждая ячейка (треугольник) рассматривается как отдельная область. Второе слагаемое в левой части уравнения (16), содержащее интеграл плотности потока по границе, вычисляется для всех ячеек — как для внутренних, так и для граничных. Плотность потока на гранях или ребрах контрольных объёмов рассчитывается на основе уравнений сохранения, а граничные условия используются для определения плотности потока на гранях и рёбрах, лежащих на внешней границе области (см. рис. 2).
Рисунок 2. Интеграл плотности потока рассчитывают по всем граням (в 3D) или рёбрам (в 2D) контрольных объёмов, как внутренних, так и граничных.
Как получить соотношения для u и Γ этими двумя различными методами?
В МКЭ в качестве базисных функций, аппроксимирующих решение, часто используются пробные функции. Если для аппроксимации решения используются полиномы ненулевого порядка, что позволяет вычислять первые производные, для расчёта плотности конвективного и диффузионного потоков дополнительные соотношения не требуются. Вектор плотности потока в этом случае также описывается локальной полиномиальной функцией.
Напротив, при дискретизации уравнений методом контрольного объёма поток на гранях контрольных объёмов не определён. В МКО решение обычно определено только в центре каждого контрольного объёма. Таким образом, для полноты МКО необходимо дополнить методом реконструкции потока.
Как правило, для расчёта производных используют метод локальной интерполяции по соседним ячейкам (см. рис. 3). Чтобы повысить порядок соотношений для интерполяции решения и плотности потока, необходимо использовать значения в большем числе контрольных объёмов. Это усложняет процедуру решения и делает данный метод менее локальным.
Рисунок 3. В центрированном по узлу МКО для расчёта вектора плотности потока используется интерполяция по значениям в центрах контрольных объёмов.
Меняя базисные функции в МКЭ и алгоритмы расчёта потоков в МКО, можно влиять на точность этих методов. Расчёт на грубой сетке с использованием метода второго порядка может оказаться более точным, чем применение метода первого порядка на мелкой сетке.
Как правило, метод конечных элементов, построенный на линейных пробных и базисных функциях, имеет второй порядок аппроксимации. МКЭ более гибок при выборе порядка дискретизации. Например, довольно просто можно перейти к квадратичным базисным функциям. Кроме того, не требуется строить интерполяционные соотношения для поиска решения. Этот метод очень симметричен, а граничные условия для плотности потока на внешних границах учитываются непосредственным образом.
Недостатком МКЭ, построенном на основе непрерывных пробных и базисных функций, является отсутствие свойства локальной консервативности; выполнение законов сохранения гарантируется только на глобальном масштабе. Другими словами, балансовые уравнения выполняются только для полного потока, проходящего через внешние границы области.
Ещё один недостаток состоит в невозможности контролировать локальные потоки, вследствие чего требуется привлечение специальных алгоритмов стабилизации для решения уравнений дискретного аналога при наличии конвективного переноса. В данном случае стабилизация решения — это удаление нефизичных осцилляций, возникающих вследствие дискретизации. С помощью непосредственного изменения слабой формы уравнений или за счёт изменения пробных функций можно решить как проблему отсутствия локальной консервативности, так и проблему стабилизации решения в задачах с преобладанием конвективного переноса. Однако такие изменения могут привести к дополнительным затратам вычислительных ресурсов.
Мы уже отмечали выше, что метод контрольного объёма соответствует методу конечных элементов, построенному с использованием кусочно-постоянных базисных функций и интерполяционных соотношений более высокого порядка для расчёта потоков. Таким образом, эти методы имеют первый или второй порядок аппроксимации.
Привлекательной особенностью метода контрольного объёма является локальное выполнение законов сохранения. Локальная консервативность означает, что для каждого контрольного объёма гарантируется соблюдение баланса полного потока. Кроме того, это свойство позволяет использовать простые и естественные методы стабилизации численной схемы в задачах гидродинамики с доминирующим преобладанием конвекции. Схема «против потока» и другие алгоритмы стабилизации получаются естественным образом при изменении способа расчёта плотности потока на гранях контрольных объёмов. Схема «против потока» приводит к нарушению симметрии дискретного аналога в направлении конвекции.
Метод конечных элементов можно построить на основе базисных функций разного порядка, и в этом состоит преимущество данного метода. Использование базисных функций более высокого порядка позволяет повысить порядок аппроксимации и создать более точные методы дискретизации, что является очень важной особенностью, позволяющей повысить точность решения на заданной расчётной сетке.
В МКО используются базисные функции нулевого порядка, что компенсируется применением схем интерполяции более высокого порядка для расчёта потоков, а это также позволяет улучшить точность решения. Применение методов дискретизации высокого порядка приводит к увеличению размера итоговой системы уравнений, а следовательно, и время расчёта увеличивается даже при решении задачи на одной и той же сетке. Однако, то же самое происходит и при повышении порядка аппроксимации. Таким образом, эффективность методов имеет смысл сравнивать только для некоторого заданного значения точности. Адекватным способом оценки эффективности этих методов является измерение процессорного времени и объёма оперативной памяти, необходимых для решения гидродинамической задачи, но при этом идентичным должен быть критерий точности решения, а вовсе не число сеточных элементов или ячеек.
Будущее метода конечных элементов
В COMSOL для решения задач вычислительной гидродинамики мы преимущественно используем метод конечных элементов, поскольку мы имеем богатый опыт применения данного метода. За последние 15 лет исследовательское сообщество добилось значительных успехов в разработке метода конечных элементов, построенного на основе разрывных пробных и базисных функций.
Это так называемые разрывные методы Галёркина (DG-FEM). Здесь используются локально заданные пробные функции, а слабая форма уравнений записывается для каждого элемента области. В результате условие локальной консервативности выполняется автоматически, а переход к схемам дискретизации более высокого порядка не представляет сложности.
Нет необходимости и в реконструкции решения, которая нужна только при нулевом порядке дискретизации, при котором разрывный МКЭ становится эквивалентен МКО. Кроме того, локальная плотность потока на границе элемента остаётся естественным элементом слабой формы, что упрощает стабилизацию численной схемы. К недостаткам разрывного метода Галёркина можно отнести появление относительно большого числа дополнительных степеней свободы. Этого недостатка лишены так называемые гибридные разрывные методы Галёркина, в которых схема дискретизации более компактная, а значит вводится меньше дополнительных степеней свободы.
Заключительные мысли о МКЭ и МКО
В этой заметке блога мы постарались показать, что и МКЭ, и МКО имеют определённые достоинства и недостатки. А эффективность решения крупномасштабных задач гидродинамики определяется эффективностью множества других алгоритмов: корректировки временного шага; реализации неявной и, в некоторых случаях, явной схем интегрирования по времени, решения больших систем алгебраических уравнений и так далее. Впереди ещё много работы и огромный спектр возможностей для развития различных методов и технологий!
Мы в COMSOL непрерывно работаем над тем, чтобы предоставить пользователям наилучшие и самые современные инструменты численного моделирования на основе метода конечных элементов. Кроме того, мы стремимся разрабатывать и реализовывать самые эффективные методы не только для мультифизических задач, но и для узких физических приложений, например, для вычислительной гидродинамики.
Источник: www.comsol.ru