Что такое проекция в строительстве

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.

Плоскость проекции — это плоскость, в которой строится изображение.

Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное.

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Построение проекции вектора на ось

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Проекция точки на плоскость

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем — плоскость α и точка М 1 , не принадлежащая плоскости α . Начертим через заданную точку М 1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α . Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H 1 , она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М 1 на плоскость α .

В случае, если задана точка М 2 , принадлежащая заданной плоскости α , то М 2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α .

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .

Что такое ПРОЕКЦИЯ? Защитные механизмы личности. Психология простыми словами

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

— получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

— определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

— найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Определите координаты проекции точки М 1 ( — 2 , 4 , 4 ) на плоскость 2 х – 3 y + z — 2 = 0 .

Решение

Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.

Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z — 2 = 0 . Таким образом, a → = ( 2 , — 3 , 1 ) – направляющий вектор прямой a .

Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 ( — 2 , 4 , 4 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( 2 , — 3 , 1 ) :

x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1

Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1 и плоскости 2 х — 3 y + z — 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1 ⇔ — 3 · ( x + 2 ) = 2 · ( y — 4 ) 1 · ( x + 2 ) = 2 · ( z — 4 ) 1 · ( y — 4 ) = — 3 · ( z + 4 ) ⇔ 3 x + 2 y — 2 = 0 x — 2 z + 10 = 0

Составим систему уравнений:

3 x + 2 y — 2 = 0 x — 2 z + 10 = 0 2 x — 3 y + z — 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x — 2 z = — 10 2 x — 3 y + z = 2

И решим ее, используя метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 — 2 2 — 3 1 = — 28 ∆ x = 2 2 0 — 10 0 — 2 2 — 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 — 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 — 10 — 2 2 2 1 = — 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 28 — 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 — 10 2 — 3 2 = — 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = — 140 — 28 = 5

Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: ( 0 , 1 , 5 ) .

Ответ: ( 0 , 1 , 5 ) .

В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А ( 0 , 0 , 2 ) ; В ( 2 , — 1 , 0 ) ; С ( 4 , 1 , 1 ) и М1(-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С

Решение

В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x — 0 y — 0 z — 0 2 — 0 — 1 — 0 0 — 2 4 — 0 1 — 0 1 — 2 = 0 ⇔ x y z — 2 2 — 1 — 2 4 1 — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x — 6 y + 6 z — 12 = 0 ⇔ x — 2 y + 2 z — 4 = 0

Далее рассмотрим еще один вариант решения, отличный от того, что мы использовали в первом примере.

Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С . Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами ( 1 , — 2 , 2 ) , т.е. вектор a → = ( 1 , — 2 , 2 ) – направляющий вектор прямой a .

Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:

x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой

x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для этого в уравнение плоскости подставим:

x = — 1 + λ , y = — 2 — 2 · λ , z = 5 + 2 · λ

Теперь по параметрическим уравнениям x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = — 1 : x = — 1 + ( — 1 ) y = — 2 — 2 · ( — 1 ) z = 5 + 2 · ( — 1 ) ⇔ x = — 2 y = 0 z = 3

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты ( — 2 , 0 , 3 ) .

Ответ: ( — 2 , 0 , 3 ) .

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: ( x 1 , y 1 , 0 ) , ( x 1 , 0 , z 1 ) и ( 0 , y 1 , z 1 ) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

C z + D = 0 ⇔ z = — D C , B y + D = 0 ⇔ y = — D B

И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , — D C , x 1 , — D B , z 1 и — D A , y 1 , z 1 .

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = ( 1 , 0 , 0 ) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · ( x 1 + λ ) + D = 0 ⇒ λ = — D A — x 1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = — D A — x 1 :

x = x 1 + — D A — x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = — D A y = y 1 z = z 1

Т.е., проекцией точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на плоскость будет являться точка с координатами — D A , y 1 , z 1 .

Необходимо определить координаты проекции точки М 1 ( — 6 , 0 , 1 2 ) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y — 3 = 0 .

Решение

Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты ( — 6 , 0 , 0 ) .

Уравнение плоскости 2 y — 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 ( — 6 , 0 , 1 2 ) на плоскость y = 3 2 2 :

Источник: zaochnik.com

Статьи о радиотехнике, технологиях, чертежах, 3D-моделировании

Публикации для людей, интересующихся наукой и техникой

Начертательная геометрия является технической учебной дисциплиной, изучаемой в ВУЗах. Она изучает и объясняет способы изображений пространственных форм (линий, поверхностей, тел) на области и способы решений вопросов геометрического характера по заданным изображениям указанных форм.

Нас будут интересовать изображения предметов, которые в дальнейшем надо изготовить на промышленном производстве. Конструктор или художник будет проектировать изображения, а изготавливать по ним деталь на производстве другой. И тот, и другой должны не только видеть формы 3D предмета по его 2D изображению, но и иметь возможность решать геометрические задания по определению размеров предмета и его отдельных частей. Решение технических тестов можно производить графическим методом, при этом всегда надо выбирать наиболее целесообразный метод решения. Применению графических методов решения тестов помогает начертательная геометрия.

Особое место в учебном процессе высшей школы при изучении дисциплин базовой части технико-технологического направления подготовки специалистов технических специальностей занимает начертательная геометрия. Данная дисциплина формирует только нужные для выполнения технического эскиза навыки и умения. Единая терминология позволяет вести обсуждение проблем проектирования технических объектов, составлять описательные тексты технологических конструкций.

Курс начертательной геометрии студенты высших технических учебных заведений изучают на первом курсе. Пришедшие из средней школы первокурсники ещё не привыкли к требованиям высшей школы, контролю со стороны преподавателя.

В средней школе ими должны быть усвоены основные сведения, относящиеся к взаимному положению прямых в пространстве, относительному положению прямой и поверхности, двух плоскостей, определению величины углов между прямой и плоскостью. Начертательная геометрия является для студентов новой дисциплиной по сравнению с изучаемыми в средней школе.

Здесь вводится большое количество новых понятий. Среди предметов, изучаемых в техническом вузе, особое значение имеет техническое черчение. Оно является одним из способов выражения инженерной мысли в графической форме. Чтобы овладеть языком технического черчения, необходимо в первую очередь изучить правила составления и чтения изображений.

Основа наглядного изображения —все те типы линий, которые применяются при его выполнении, и которые студенты изучают в курсе машиностроительного черчения. Таким образом, предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных форм на плоскости и способов решения проблем геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Изучая начертательную геометрию, студенты знакомятся с методами графического решения проблем. Эти методы, хотя и обладают меньшей точностью по сравнению с аналитическими, могут с успехом применяться, в частности, при решении проблем с использованием компьютера и специализированных программ. Это ещё более повышает роль начертательной геометрии в инженерном образовании.

Для будущего конструктора, крайне важно наличие пространственного мышления, пространственного воображения. Начертательная геометрия, вызывая усиленную работу пространственного воображения, развивает его. Большинство заданий, решаемых студентами в курсе начертательной геометрии, не встретятся им в будущей инженерной деятельности, но помогут столь необходимому инженеру развитию пространственного мышления и воображения.

• научить точно строить изображения предметов;
• читать изображения;
• научить с помощью изображений решать задачи геометрического характера на определение формы, положения и размеров предмета;
• развить у студентов пространственное мышление, т. е. научить их быстро и отчетливо представлять в уме пространственные формы (без чего невозможно проектирование и конструирование).

Ещё в старину было установлено, что основой для построения изображений, отвечающих определённым условиям, является проекция. Содержание старой росписи на китайском шёлке и на стенах пещерных комплексов в Индии весьма многообразно. Немецкий художник А. Дюрер написал трактат, по содержанию близкий к изложению основ начертательной геометрии.

К концу 18 века проекционные методы имели свою длинную историю. Тем не менее единого метода изображения объёмного вида на плоском чертеже разработано не было.

Развитие промышленности и связанное с ним разделение труда зародили тенденцию создания единообразной теории изображения, строгого упорядочивания правил выполнения чертежей — документов, обеспечивающих чёткую передачу замыслов инженера. Эта цель была реализована учёным Г. Монжем. Он свёл в единую научную систему весь накопленный развитием науки и техники в ряде стран материал по ортогональному проецированию. Им была создана метафизическая геометрическая модель реального пространства, согласно которой каждой точке трёхмерного пространства ставится в соответствие две её ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости.

Чертёж построенный по правилам начертательной геометрии, становится рабочим инструментом специалистов, архитекторов и проектировщиков. Советская школа развития начертательной геометрии неразрывно связана с деятельностью институт ИПС, основанного в Ленинграде в 1810 г. Под его прямым влиянием формировалась русская школа начертательной геометрии.

К моменту, когда курс начертательной геометрии был введён в программы техникумов и университетов, институт ИПС уже подготовил много высококвалифицированных преподавателей. В университете им. Н.Э. Баумана профессорами были разработана методика преподавания графических дисциплин. Кафедре «Инженерная графика» МВТУ им.

Н.Э. Баумана первой в Советском Союзе поручили осуществлять повышение квалификации преподавателей начертательной геометрии страны. Только на этой кафедре повышали квалификацию заведующие кафедрами «Инженерной графики» отечественных учебных заведений.

Если у вас возникли вопросы или вам нужна помощь в решении уроков, выполнении чертежей по начертательной геометрии отправляйте ваше задание на контакты. Итак, перейдем к перечислению основных терминов и понятий, неотъемлемо связанных с предметом начертательная геометрия.

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — расширенное евклидово пространство, дополненное несобственными элементами: точками, прямыми и плоскостями.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ — бесконечно удаленные элементы пространства. Например, бордюрный камень дороги пересекается в пространстве горизонта в несобственной точке.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОНСТРУКТИВА НА ПОВЕРХНОСТИ — это отображение этого померона по одному из законов проецирования. Например, центрального или параллельного.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ — процесс, в результате которого получают изображения пространственных целей на плоскости проецирования.

АППАРАТ ПРОЕЦИРОВАНИЯ — это проецирующие лучи, проецируемый пункт и область, на которую осуществляется распространение.

ПРОЕКЦИЯ — изображение на плоскости, полученное в результате процесса переноса вида. За проекцию точки (.) принимают точку касания проекционного луча. Фронтальная проекция, горизонтальная проекция, профильная проекция. А ‘ — горизонтальная проекция (.) А на П.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ — способ, при котором все лучи, проецирующие предметы, распространявшиеся из одного начала, называемой центром проекций. Она обладает большой ясностью и передает визуальные впечатления, которые получает зритель, рассматривая натуральный предмет. Она отражает как общую форму померона, так и взаимное положение наблюдателя тела. Фотография представляет собой центральную проекцию.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ — вариант распространения, при котором все лучи проходят параллельно заданному направлению друг другу. Направление проецирующих параллельных друг другу лучей может быть прямоугольным или косоугольным. В отличие от центрального проецирования обеспечивает лёгкость построения и большую взаимосвязь с подлинником.

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ — разновидность параллельного проецирования, при котором параллельные проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проецирования. Ортогональные проекции получили наибольшее распространение в машиностроительном черчении (следы точек A, B, C, K).

ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ — свойства оригинала, которые не изменяются в процессе проецирования. Эти свойства являются базовыми при выявлении геометрической характеристики изображенного пространственного тела.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ — начертательной геометрии это центр, линия, поверхность, геометрическое тело.

НУЛЬМЕРНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ОБЪЕКТ — вершина трехмерного померона, т.е. это точка встречи ребер физического корпуса.

ОДНОМЕРНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ОБЪЕКТ — отрезок линии, за который принимается ребро трехмерного корпуса.

ДВУХМЕРНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ОБЪЕКТ — плоская фигура; отсек поверхности.

ТРЕХМЕРНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ОБЪЕКТ — любой объемный объект.

ЧЕРТЕЖ — графический документ, содержащий изображение предметов, выполненных с учетом правил и требований, закрепленных государственными стандартами ЕСКД, позволяющих однозначно различать эти объекты. Если вам сложно сделать самому эскиз или графическую работу, вы можете оставить заявку у нас на сайте, и мы окажем профессиональную и квалифицированную помощь.

ЕСКД — единая система конструкторской документации, комплекс государственных стандартов.

ПОЗИЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ — это вопросы, связанные с взаимным расположением геометрических объектов, т.е. ребусы на взаимную принадлежность и пересечение геометрических тел.

МЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ — теоремы, решение которых связано с отображением на чертеже разных метрических свойств геометрического предмета или определением их по чертежу

КОМПЛЕКСНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ — упражнения, при решении которых используют как метрические, так и позиционные свойства геометрических объектов.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА 3-Х ПЛОСКОСТЕЙ — пересекающиеся в евклидовом пространстве взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Выделяют: фронтальную, горизонтальную и профильную плоскости. Линии пересечения этих плоскостей принимают за отрезок данных X, Y, Z, имеющих положительные и отрицательные направления относительно общей для всех плоскостей (.) 0.

ОСНОВНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ — это плоскости П1, П2, и П3:

П1 — горизонтальная плоскость проекций;

П2 — фронтальная плоскость проекций;

П3 — профильная плоскость проекций.

ФРОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ — плоскость проекций, расположенная вертикально прямо перед зрителем. В системе 3-х плоскостей проекций эта плоскость пересекается под прямым углом с горизонтальной по оси абсцисс и профильной — по оси аппликат. При приведении системы 3-х плоскостей проекций в положение наброска фронтальная не меняет своего положения в пространстве. В начертательной геометрии имеет графическую метку П2.

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ — поверхность проекций системы ортогонального следа, расположенная горизонтально. При приведении системы 3-х плоскостей проекций в положение эскиза горизонтальная поворачивается вокруг линии абсцисс на 90⸰ до вертикального положения. При этом часть плоскости, находящаяся перед фронтальной, опускается вниз, а за фронтальной поднимается вверх.

ПРОФИЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ — область системы ортогонального следа, расположенная вертикально. В этой системе трех плоскостей данная плоскость пересекается под прямым углом с фронтальной и с горизонтальной. При приведении системы трех плоскостей проекций в положение рисунка профильная вращается вокруг линии аппликат до фронтального положения. При этом часть плоскости, находящаяся перед наблюдателем, движется вправо, а за фронтальной влево.

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — изображение на поверхности горизонтальной П1, полученное в результате процесса прямоугольного отпечатка.

ФРОНТАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — изображение на поверхности фронтальной П2, полученное в результате процесса прямоугольного отпечатка.

ПРОФИЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — изображение на поверхности профильной П3, полученное в результате процесса прямоугольного отпечатка.

ОКТАНТ — трехгранный угол, полученный в результате деления по восемь частей евклидового пространства фронтальной, горизонтальной и профильной плоскостями. Эти восемь октантов нумеруются в определенном порядке и обозначаются римскими цифрами.

КВАДРАНТ — двугранный угол,образованный пространстве пересечением двух плоскостей проекций. Квадрант является частью какого-нибудь октанта.

БИССЕКТОРНАЯ ПЛОСКОСТЬ ДВУГРАННОГО УГЛА — плоскость, проходящая через ребро двугранного угла, образованного плоскостями П1 и П2, и делящая его пополам. Если биссекторная проходит через 1 и 3 октант, она называется нечетной, если через 2 и 4 — четной. Точка, лежащая на биссекторной плоскости, равноудалена от П1 и П2, т.е. горизонтальная и фронтальная проекции (.) удалены на одинаковое расстояние от 0Х.

НАЧАЛО КООРДИНАТ — общая точка трех плоскостей проекций. Точка 0 пересечения координатных осей. Относительно данной (.) рассматривается направление осей расположения.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ НА ОБЛАСТИ ПРОЕКЦИЙ — основание перпендикуляра проецирующего луча, опущенного из данной (.) на эту область. Получает название и обозначение на чертеже по названию и обозначению плоскости проекций, которой принадлежит.

ЭПЮР–комплексный чертеж, отвечающий условию обратимости.

ДВУХКАРТИННЫЙ ЭПЮР — эпюр в системе двух плоскостей проекций. Двух картинный эпюр всегда содержит фронтальные пр. пл. П2. И в зависимости от того, какой квадрант участвует в образовании рисунка, в его состав входят горизонтальные проекции П1, иначе профильные проекции П3.

ТРЕХКАРТИННЫЙ ЭПЮР — эпюр в системе 3 плоскостей проекций. Чертеж образуется проекциями трех плоскостей какого-нибудь октанта.

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ — плоский обратимый чертеж, состоящий из двух и более проекций геометрического предмета, полученный путем развертывания в сфере модели пространства. На комплексном чертеже оперируют не самими геометрическими объектами, а их проекциями.

ОБРАТИМЫЙ ЧЕРТЕЖ — чертеж, определяющий положение любой (.) предмета относительно плоскости проекций или относительно другой данной (.). Каждая точка, заданная на изображении, определяет единственную точку изображенного конструктива.

ЛИНИЯ ПРОЕКЦИОННОЙ СВЯЗИ — прямая линия, соединяющая на эпюре две равноименные проекции (.) перпендикулярно оси позиций.

КООРДИНАТНАЯ ЛИНИЯ — прямая линия, соединяющая на эпюре перпендикулярно оси проецируемой (.) и ее ортогональную проекцию. Эта линия имеет длину равную размеру позиции, т.е. отражает расстояние от (.) до плоскости проекций.

КООРДИНАТЫ — числа, выражающие расстояния от данной (.) до трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

АБСЦИССА — расстояние от данной (.) до профильной П3. На чертеже размер такого расстояния откладывают от (.) 0 на оси координат X и называют определение X этой (.).

ОРДИНАТА — расстояние от данной (.) до фронтальной П2. На чертеже размер длины такого расстояния откладывают от (.) 0 на оси координат Y и называют координатой Y этой (.).

АППЛИКАТА — расстояние от данной (.) до П1. На чертеже размер длины такого расстояния откладывают от (.) 0 на оси координат Z называют координатой Z этой (.).

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ НАЧАЛА — условная запись местонахождения (.). Для обозначения используются скобки, внутри которых в последовательности x, y, z записываются цифры размера ориентира с указанием знаков направления их осей. По знакам данных в определителе (.) можно определить октант, в котором она расположена. Так как размер ординаты откладывается на отрицательном направлении Y, А находится за П2, т.е. за первым октантом. Следовательно, (.) А расположена во втором октанте пространства.

Источник: kompaswork.ru

Архитектурный чертеж как средство выражения проектного замысла

Чертеж— изображение, выполнен­ное в соответствии с правилами начер­тательной геометрии с применением чертежных инструментов.

Ортогональный чертеж

Ортогональный чертеж, который еще известен как «метод параллельного проецирования» Гаспара Монжа, есть изображение предмета, отдельные виды которого (план, фасад, боковой вид) па­раллельно спроецированы на две (или три) взаимно перпендикулярные плоско­сти.Это самый точный и рациональный метод изображений предмета на плоско­сти, на котором основана вся система современного проекционного черчения.

Ортогональный чертеж в архитек­турной графике является самой распро­страненной формой сообщения инфор­мации об архитектурном объекте, кото­рая позволяет не только достоверно пе­редать в изображении геометрические параметры формы, но и путем масштаб­ных преобразований соотнести ее изоб­ражение с истинными размерами пред­мета.

Традиционно с конца XVIII в. архи­тектурные ортогональные чертежи по своему содержанию подразделяются на следующие разновидности.

Чертеж фасада— фронтальное ор­тогональное изображение проекций фа­садов здания. Обычно под этим назва­нием повсеместно подразумевается чер­теж главного фасада сооружения, если же изображаются другие его фасады, то они сопровождаются разъяснением — «боковой фасад», «задний фасад» или «северный фасад», «южный фасад» и т. д. Фасады изображаются в масштабах 1:200; 1:100; 1:50; 1:25. Фасады зданий вычерчиваются в такой графи­ческой технике, которая убедительно от­ражает пластический характер архитек­турного сооружения. Так, если форма здания проста по своим геометрическим формам, то фасады изображаются в ли­нейной графике с фрагментарным при­менением тона.

Сложная, пластически богатая фор­ма фасадов здания изображается в тех­нике линейной графики с применением штриховки или в технике тушевой от­мывки. Силуэт здания, его компактные или вытянутые пропорции отражаются на композиции чертежей фасадов. Вертикальная композиция зда­ния изображается на вытянутом по вертикали чертеже. Горизонтальная компо­зиция здания, комплекса зданий (так называемая «ленточка») изображается на чертежах вытянутых по горизонтали.

Иногда обстоятельства диктуют не­обходимость изображения не всего фа­сада здания, а его фрагмента. Правила изображения фрагмента аналогичны правилам построения в чертеже проек­ции фасада здания.

Чертеж плана— условное ортого­нальное изображение разреза здания, рассеченного по горизонтали прозрач­ной секущей плоскостью при взгляде на него сверху вниз (план) или снизу вверх (плафон). Условная плоскость рассека­ет здание таким образом, что на чертеж­ных изображениях плана показаны не только сечения несущих конструкций и перегородок, но и сечения по окнам, дверям, вентиляционным каналам и шахтам, сантехническим панелям и т. д. Границы рассечения массивов конструк­тивных элементов обводятся толстыми, разрезными линиями с возможной заливкой плоскости сечения черной ту­шью или тоном. Видимые, но не рассе­каемые в плане элементы конструкций и оборудования — лестницы, мебель, сантехнические приборы, рисунок замо­щения полов или рельеф потолка (в плафонах) обводятся тонкими линиями. Планы зданий вычерчиваются в масштабах 1:200; 1:100; 1:50; 1:25. Про­порции чертежей с изображением планов также зависят от композиционного рисунка плановых проекций здания. В чертежах планов могут применяться изображения сечений несущих конст­рукций с показом материала (естествен­ного камня, бута, кирпича, бетона, дере­ва и т. д.), деталей земли, деревьев, кам­ней, горизонталей и т. д. Для выявления рисунка конструкций в плане могут применяться изображения теней, кото­рые отбрасываются на поверхность зем­ли, сечения стен, опор, перегородок и т. д.

Чертеж разреза— фронтальное ор­тогональное изображение проекций раз­реза здания, спроецированное на плос­кость чертежа. Обычно под этим назва­нием подразумевается ортогональное изображение разреза, полученное сече­нием, проведенным через наиболее ха­рактерные помещения здания. Проекции разреза (так же как проекции фасада) могут располагаться на чистом листе бумаги, которая в этом случае иг­рает роль нейтральной воздушной сре­ды. Возможен другой вариант, когда за пределами разреза здания графически показываются детали природного или городского окружения.

Применяются такие композиции чертежа, на которых одновременно изображаются фасад и разрез, фасад, разрез и план и т. д. В этом случае цен­тральное положение занимает та проек­ция здания, которую автор считает наи­более важной, т.е. или фасад, или план и т. д. Необходимо помнить, что секу­щая плоскость проходит обязательно че­рез оконные, дверные проемы, проме­жутки между несущими опорами и т. д.

Чертежи архитектурных разрезов изображаются в масштабах 1:100; 1:50; 1:25. В учебном проектировании, где цифровое значение масштаба не играет столь важную роль, архитектурные про­екции могут в отдельных случаях из ком­позиционных соображений изображаться в масштабах 1:75; 1:40; 1:20; 1:10; 1:5.

Чертеж генерального плана (генп­лан)— условное ортогональное изобра­жение здания или комплекса зданий и сооружений при взгляде сверху вниз. В генеральном плане показывают ортого­нальные изображения сечений зданий по цокольным этажам (планы) или про­екции сооружений с обозначением очер­тания его кровли (чертеж кровли).

Зда­ние или комплексы зданий графически изображаются на местности с обозначе­нием горизонталей рельефа, транспорт­ных коммуникаций, автостоянок, деталей благоустройства, массивов декора­тивной или естественной зелени, от­дельных деревьев и т. д. Чертеж гене­рального плана может выполняться ис­ключительно в линейной графике, когда габариты зданий, дороги, группы дере­вьев, горизонтали обозначены лишь ли­ниями. Для выявления композиционных особенностей застройки или ее сочета­ния с ландшафтом возможно примене­ние тональной или цветной графики, когда с помощью штриховой техники, заливки или тушевой отмывки, аква­рельной покраски выявляются тени и форма зданий, пластика рельефа земли и т. д. Как правило, изображение генп­лана сориентировано по странам света. Генпланы выполняются в масштабах 1:5 000; 1:2 000; 1:1 000; 1:500; 1:200. В учебном проектировании, где цифровое значение масштаба не играет такую роль, как в реальном проектировании, возможно изображение ген плана в мас­штабах 1:4 000; 1:3 000; 1:400; 1:250; 1:200.

Чертеж архитектурной детали— ус­ловное ортогональное изображение про­екций архитектурных деталей, как эле­ментов архитектурной пластики фаса­дов и интерьеров здания. Правила изоб­ражения деталей аналогичны с приема­ми графического вычерчивания фасадов, планов, разрезов.

На чертеже может быть изображена фасадная ортогональ­ная проекция детали, совмещение фа­садной проекции с разрезом и планом. Чертежное изображение архитектурной детали особо характерно показом факту­ры, текстуры, отделочного материала или материала, из которого изготовлена сама деталь (камня, бетона, металла, де­рева и т. д.). В зависимости от назначе­ния чертежа деталь может изображать­ся в линейной графике штриховкой и заливкой (в рабочем проектировании), или в технике тушевой отмывки, аква­рельной покраски и т. д. (иллюстратив­ное изображение детали в увраже, в об­мерочных чертежах, для освоения учеб­ной графики и т. д.). Сложная пластическая форма поверхности детали изображается обязательно с выявлением светотеневых контрастов, с построением и графической тушевкой теней. Архитектурная деталь изображается в чертежах в масштабе 1:25; 1:10; 1:5; 1:2; 1:1.

Чертеж разверток ограждающих поверхностей интерьеров— условное изображение ортогональных проекций поверхностей стен интерьерных помещений. Такие чертежные изображения характерны для проектных работ, где в одном или нескольких чертежах сопос­тавляются проекции плана помещения с графическим обозначением проемов окон и дверей и чертежные проекции разверток стен этого же помещения.

Если в чертеже сочетаются изображения плана и разверток стен, то разрезной контур деталей ограждающих поверхно­стей, так же как и контур каждой из проекций плана, обводится толстыми разрезными линиями. Если в чертеже присутствуют только проекции развер­ток стен без изображения плана, то они по контуру могут обводиться условно и толстой, и тонкой линией, так как их рисунок как бы вырван из контекста разреза здания, а воспринимается лишь как условное отображение габаритов стен интерьера. Однако в обоих случаях в обводке стен обязательно графически показываются оконные и дверные про­емы, причем линии обводки разрезных границ поверхностей толще, чем линии обводки границ поверхностей, не попа­дающих в разрез. Видимые детали кон­струкций (дверные и оконные проемы, лестницы, рельеф ограждающих поверх­ностей), так же как и изображения дета­лей мебели и оборудования, обводятся тонкими линиями.

Чертежные развертки исполняются в зависимости от целей изображения как в линейной графике, так и в техни­ке линейной графики, сочетающейся с тушевой отмывкой, подкраской отдель­ных поверхностей акварелью и т. д. Масштаб чертежей разверток колеблет­ся в зависимости от действительной ве­личины показанных ограждений инте­рьера в пределах от 1:100 до 1:50; 1:25; 1:10. В отдельных случаях развертки стен исполняются в технике покраски гуашью или темперой, а также покраски с применением аэрографа. Покраска мо­жет имитировать не только цвет деталей интерьера, но и фактуру отделочного материала каждой ограждающей повер­хности, текстуру деревянных деталей мебели и панелей ограждения, фактуру и рисунок отделочных тканей и т. д.

Специфика графического моделирова­ния деталей интерьера имеет свои отличительные особенности — она менее ус­ловна, чем графика проектных архитек­турных чертежей, что объясняется свое­образием дизайнерских задач в отделке интерьера. «Натуральное», реалистичное изображение материалов отделки и ме­бели помогает предвидеть все особенно­сти дизайнерского решения композиции интерьера, определить особенности его зрительского восприятия в натуре.

Этапы работы над чертежом.Архи­тектор стремится простейшими сред­ствами получить максимальный рабо­чий эффект от каждого чертежа. Можно утверждать, что все стадии работы над чертежом протекают в такой последова­тельности:

первая стадия — карандашная раз­метка листа в осях соответственно рас­положению ортогональной проекции или нескольких ортогональных проек­ций сооружения. Построение линейного масштаба. Построение и уточнение в об­щих массах габаритов плана, фасада или разреза здания;

вторая стадия — работа под деталь­ным вычерчиванием ортогональной про­екции сооружения в карандаше или од­новременная работа над планом и фаса­дом здания с взаимным проецированием деталей. Вычерчивание деталей фасада и плана;

третья стадия — обводка китайс­кой (или химической) тушью готового карандашного чертежа. Обводка толстой разрезной линией или заливка сечений в планах и разрезах здания. Построение теней, выявление светотеневой пласти­ки архитектурных проекций фасада, фрагментов, разреза здания средствами черно-белой графики или с применени­ем техники тушевой отмывки;

четвертая стадия (в случае приме­нения тональной графики) — оконча­тельная доработка отмывки фасада с выявлением фактуры материала, полу­теней, силуэта здания;

одновременно в линиях или кистью исполняется рисунок антуража. Испол­нение шрифтовых и цифровых надпи­сей. Вычерчивание штампа чертежа.

На каждой стадии автор последова­тельно уточняет свою мысль, изменяет пропорции сооружения, находит опти­мальные очертания оконных и дверных проемов, рисунок деталей здания и т. д.

Аксонометрический чертеж

Проектные объекты с разной компо­зиционной и пластической структурами целесообразно изображать в наиболее выигрышной для каждого из них графи­ческой технике. В некоторых случаях для этих целей предпочтительны аксо­нометрические чертежи.

Аксонометри­ческое черчение— условное изображе­ние предмета в аксонометрии, само по­нятие которой возникло из словосочета­ния АКСОН (ось) и МЕТРЕО (изме­ряю) — термины, взятые из древнегре­ческого языка. Метод аксонометричес­кого проецирования есть ракурсное изображение предмета, параллельно спроецированное на изобразительную плоскость под определенным к ней углом (рис.

29). Аксонометрический чер­теж — средство позволяющее получить при взгляде на объект в ракурсе с верх­ней или нижней точек зрения наиболее полное впечатление об его объемных и пространственных характеристиках. На­ивные, теоретически не обоснованные аксонометрические применялись еще во времена европейского Средневековья. В практике архитектурного черчения аксо­нометрия встречается сравнительно ред­ко, чаще в инженерных и технических чертежах, и лишь в конце XIX — начале XX в. аксонометрический чертеж широ­ко внедряется в палитру изображений архитектурной графики.

Виды аксонометрических изобра­жений.В нашей стране виды аксономет­рических проекций классифицируются и подчиняются ГОСТам. Обращаем внимание, что изображенные на рис. 29 аксонометрические чертежи сориенти­рованы по трем осям, среди которых вертикальная ось обозначена Z, левая от вертикали ось обозначена X, правая от вертикали ось обозначена Y. Вдоль осей аксонометрических фигур нанесены цифровые обозначения пропорциональ­ного сокращения (искажения) граней изображаемых фигур, именуемые в тек­сте «индекс искажения»: 1 — ось или грань фигуры с таким индексом не сокращается, имеет линейные пропорции 1:1; 3/4 — ось или грань фигуры с таким индексом сокращается в пропорциях 3:4; 2/3 — ось или грань фигуры с таким индексом сокращается в пропорциях 2:3; 1/2 — в направлении данной оси или грани фигуры изображения сокращают­ся в пропорциях 1:2.

В реальном или учебном проектиро­вании согласно ГОСТ 2.317—60 Аксонометрические проекции подразделяются на следующие виды:

Прямоугольные, где проецирующие лучи перпендикулярны картинной плос­кости, прямоугольные проекции в свою очередь делятся:

на прямоугольную изометрическую, где углы между осями Z, X, Y равны 120°, а углы между горизонтальной пря­мой и осями X и Y равны 30°, где изоб­ражение по всем трем осям не сокраща­ется и обозначается индексом сокраще­ния 1 (см. рис. 29, 1);

на прямоугольную диметрическую проекцию, где ось X направлена к гори­зонтальной прямой под углом 7° 10′, ось Y направлена к горизонтальной пря­мой под углом 4Г25′. Индекс сокраще­ния изображения по осям Z и X равен 1, а индекс сокращения по оси Y равен 1/2 (см. рис. 29, 2);

косоугольные проекции, где проеци­рующие лучи наклонны к картинной плоскости. Косоугольные проекции в свою очередь делятся:

на фронтальную изометрическую проекцию, где угол между осями Z и X

равен 90°, а угол оси Y к горизонталь­ной прямой равен 45°. Индексы сокра­щения по всем трем осям Z, X, Y равен 1 (см. рис. 29, 3);

на горизонтальную изометрическую проекцию, где угол, под которым ось X встречается с горизонтальной прямой, равен 60°, а угол встречи оси Y с гори­зонтальной прямой 30°. Индекс сокра­щения по всем трем осям Z, X, Y равен 1 (см. рис. 29, 4);

на фронтальную диметрическую проекцию, где угол между осями Z и X равен 90°, а ось Y встречается с горизон­тальной прямой под углом в 45°. Индекс вскажения по осям Z и X равен 1, а ин­декс искажения по оси Y равен 1/2 (см. рис. 29, 5);

триметрическая проекция отличает­ся разными показателями индекса ис­кажения по всем трем осям. С горизон­тальной прямой ось X встречается под углом 60°, ось Y под углом 15°, между осями X и Y угол равен 105°. Количе­ственные показатели индексом искаже­ния по трем осям в определенных преде­лах могут меняться. На рис. 29, 6 показа­тели искажения по оси Z равны 2/3, оси оси X — 3/4, а по оси Y — 1.

Фигуры 7, 8, 9, 10, 11, 12 на рис. 29 демонстрируют широко употребляемые в США приемы аксонометрических изображений. Представленные приемы незнакомы российскому читателю, су­щественно отличаются от аксонометри­ческих изображений по российскому ГОСТу и представляют определенный интерес ракурсных изображений архи­тектурных объектов.

На рис. 29, 7 между направлениями осей X и Y расположен угол в 90°. Оси X и Y встречаются с горизонтальной прямой под углом в 45°. Индекс искажения по всем трем осям равен 1.

На рис. 29, 8 ось X встречается с го­ризонтальной прямой под углом в 15°, а ось Y под углом в 60°. Индекс искаже­ния по всем трем осям равен 1.

На рис. 29, 9 оси X и Y встречаются с горизонтальной прямой под углом в 15°. Индексы искажения по осям X и Y равен 3/4. Индекс искажения по оси Z равен 1.

На рис. 29, 10 ось X встречается с горизонтальной прямой под углом 15°, а ось под углом в 30°. Индексы искаже­ния по осям Z и X равны 1, а по оси Y — 3/4.

На рис. 29, 11 в отличие от обяза­тельных правил российского ГОСТа ось Z не вертикальна, а наклонна к го­ризонтальной линии под углом в 45°. Между осями X и Y расположен угол в 90°. Индексы искажения по осям X и Y равны 1. Индекс искажения по оси Z равен 3/4.

На рис. 29, 12 ось Z не вертикальна и наклонена к горизонтальной линии под углом в 60°. Между осями X и Y расположен угол в 90°. Индексы иска­жений по осям X и Y равны 1. Индекс искажения по оси Z равен 2/3.

При исполнении всех видов аксоно­метрических чертежей не следует: 1. использовать аксонометрические чертежи без строгой ориентации чертежных про­екций относительно вертикальной и го­ризонтальной осей картинной плоскости чертежа, т.е. чертить без рейки, рейсши­ны, угольников; 2. Грани аксонометри­ческих проекций следует чертить строго соблюдая параллельность прямых; не следует пытаться чертить, соблюдая па­раллельность прямых произвольно — на глаз; 3. не следует по наитию подбирать пропорции искажения по трем осям ак­сонометрии. Пропорциональное искаже­ния граней аксонометрического изобра­жения должно быть исключительно точ­ным; 4. при изображении объектов с планами цилиндрическими или близки­ми к квадрату не следует использовать приемы аксонометрии, изображенные на рис. 29 1, 3.

1) объекты с планами, близкими к квадрату, квадратными или цилиндри­ческими целесообразно чертить в аксоно­метрических пропорциях, изображенных на рис. 29 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12;

2) архитектурные объекты, планиро­вочная и пластическая структура кото­рых выгодна для рассмотрения в нерез­ких ракурсах, с невысоко поднятых то­чек зрения сверху или снизу, целесооб­разно вычерчивать по образцу аксоно­метрий на рис. 29 2, 5, 9, 10;

3) архитектурные объекты, пласти­ческая и планировочная структура кото­рых выигрышно смотрится с высокорас­положенной точки зрения, целесообраз­но вычерчивать согласно аксонометри­ческим схемам на рис. 29 7, 8, 11, 12;

4) следует точно соблюдать величину углов, по которым сориентированы оси и грани аксонометрического чертежа.

Построение ортогонального или ак­сонометрического чертежа, как уже из­вестно из предыдущих разделов, осно­вано на использовании приемов по ме­тоду параллельного проецирования.Принципы этого метода построены на том, что точка схода проецирующих прямых условно принимается как бес­конечно удаленая, чем вызвана парал­лельность проецирующих прямых. В противоположность этому явлению, прием носит название метода цент­рального проецирования,если проеци­рующие прямые сходятся в одну точку, что отражено в таком явлении как пер­спектива.

Перспективный чертеж

Перспективный чертеж — это услов­ное изображение предмета, вычерченное в перспективе. Его теоретическое обо­снование было в общих чертах заверше­но к началу XVII в. итальянским уче­ным Гвидо Убальди (1545—1607). Трак­таты по теории перспективы разрабаты­вались польским ученым Вителоном (1270), итальянскими зодчими Филиппе Брунеллески (1377—1446), Леоном Баттиста Альберти (1404—1472), Пиетро делла Франческо (1416—1492), Леонар­до да Винчи (1452—1519), немецким ученым и художником Альбрехтом Дю­рером (1471—1528) и многими другими. В целом теория перспективы, применя­емая в современной начертательной гео­метрии и архитектурной графике, сфор­мировалась к концу XVII — началу XVIII в. В нашей стране теория архитектурной перспективы углублена в тру­дах известных советских педагогов архитектурной школы А. Добрякова и А. Климухина.

В широкоугольной перспективе, где угол зрения колеблется от 50 до 60°, мы заранее примеряемся к целому ряду оптических искажений, которые возни­кают из-за слишком большой величины угла зрения. Однако широкоугольная перспектива в архитектурной практике применяется редко, в большинстве слу­чаев при построении архитектурных чертежей мы принимаем оптимальную величину угла зрения в пределах 30°, редко 40° (рис.

31). Качественное пост­роение перспективного изображения возможно при условии, когда главный (или центральный) луч зрения Р про­ходит в пределах средней трети угла зрения, а еще лучше — близко к его се­редине.

Аппарат центрального проецирования, который включает центр про­ецирования — точку и плоскость проек­ций К (картину), а также ряд точек, прямых, плоскостей, составляющих весь необходимый набор компонентов проецирующего аппарата, куда входят: Т — горизонтальная предметная плос­кость; Н — плоскость горизонта; S — горизонтальная проекция точки зрения; Р — главная точка картины; SP — глав­ный или центральный луч; sp — рассто­яние точки зрения; Т^Т2 — основание картины; hi;h2 — линия горизонта; FF2 — точки схода; D — точки схода диагоналей [18, 25]. В архитектурной графике применяется множество видов перспективного построения, вплоть до построения на цилиндрическую или шарообразную поверхность. Методи­ческая последовательность этого про­цесса описана в ряде трудов и моногра­фий [18, 25]. Однако в архитектурной практике реального и учебного проек­тирования чаще других применяются следующие два метода построения пер­спективного чертежа.

Фронтальная перспектива с однойточкой схода:случай построения перс­пективного чертежа, при котором карти­на располагается параллельно одной из плоскостей фасада изображаемого зда­ния. Такой способ был впервые теорети­чески обоснован Альбрехтом Дюрером.

Дюрер, очевидно, применял для постро­ения перспективы известный среди уз­кого круга специалистов того времени способ проецирования изображения на плоскость матового стеклянного экрана (см. рис. 31, 2; 32). Располагая относи­тельно экрана прямоугольный по форме объект (например, модель здания) та­ким образом, чтобы один из его фасадов был параллелен плоскости экрана (или картинной плоскости К), и нанеся на эту плоскость контуры объекта и про­должения его ребер в виде проецирую­щих линий, можно получить их пересе­чение в некоторой точке Р, находящей­ся на линии горизонта. Если учесть, что все точки изображаемого объекта нахо­дятся на линиях, радиально сходящихся в точке схода Р, то понятно, почему та­кой способ называется еще и радиальным. Подобная методика построения перспективного изображения с помо­щью наложения бумаги на жестко зак­репленную вертикальную раму с экра­ном из матового стекла долгое время использовалась художниками, исследо­вателями, естествоиспытателями для точного копирования нужного объекта, что заменяло в XVII—XIX вв. фотоаппа­ратуру.

Объекты с прямоугольной простран­ственной структурой экстерьера и инте­рьера сравнительно легки для построе­ния методом фронтальной перспективы. Объекты с криволинейной формой пла­на, объекты со сложной многогранной пластикой формы строятся методом фронтальной перспективы с помощью прямоугольной сетки координат, кото­рая вычерчивается в плоскости земли (на предметной плоскости 7). Криволинейные сочетания плана здания, деталей планировки и благоустройства вписыва­ются в такую же координатную сетку на ортогональном изображении плана, а за­тем, в соответствии с этой координатной разбивкой, переносятся и врисовываются в аналогичную линейную сетку на перспективном чертеже.

Примеры перспективных чертежей, выполненных по методу фронтальной перспективы, характерны прежде всего для раскрытия композиционных осо­бенностей интерьерного пространства. Радиальная перспектива чрезвычайно удобна для выявления глубины, ритми­ческого строя помещения интерьера, пластика ограждающих поверхностей которого решена с помощью членений, метрически повторяющихся элементов декора, конструктивных элементов, де­талей потолка и плафона. Основу графического исполнения перспективы со­ставляет качественное линейное пост­роение, причем лучшие образцы перс­пективных чертежей демонстрируют не только точное построение в линиях элементов архитектурной формы, но и сохранение аппарата вспомогательных и проецирующих линий, с помощью ко­торых вычерчиваются грани и ребра, арки, детали, оконные проемы инте­рьерного пространства. Скрупулезное исполнение линейного построения по­зволяет выполнить чертеж в двух вари­антах графики.

Первый вариант — исполнение пер­спективного чертежа в линейной гра­фике — с тушевой обводкой граней формы и оставлением карандашной по­досновы аппарата вспомогательных ли­ний. В этом варианте возможна легкая проработка тоном падающих и соб­ственных теней (см. рис. 56, 4, 5). Та­кая графическая манера особенно ха­рактерна для учебных чертежей, где убедительность линейного построения формы, точность аппарата вспомога­тельных графических построений гово­рят о качестве процесса чертежного исполнения перспективы.

Второй вариант — исполнение пер­спективного чертежа в линиях с после­дующей фундаментальной проработкой светотеневых отношений объекта в тех­нике тушевой отмывки с применением акварели, гуаши и темперы, техники летрасета, аэрографа и т. д. В этом слу­чае большое значение имеет выявление эффекта воздушной перспективы, создающей иллюзию глубины, простран­ственной выразительности и т. д. Таким методом пользовались мастера разных поколений. Этот метод применяется в российской архитектурной графике до сегодняшнего дня (рис. 32, 33).

Особое место в исполнении фрон­тальной перспективы интерьера с при­менением тона и цвета занимает дизай­нерская моделировка интерьерного про­странства. Цель такой графической тех­ники — в максимальной реалистичности отображения характеристик отделочных материалов, поверхностей, мебельных панелей, декоративных и отделочных тканей и т. д. Такая перспектива выпол­няется смешанными графическими при­емами — для поверхностей стен, потол­ка, остекления применяются техника ту­шевой отмывки или покраска аэрогра­фом. Поверхности деревянных панелей мебели, поверхности, отделанные тканя­ми, текстура декоративных тканей ис­полняются методом покраски (или там-повки) гуашью, темперой. Все виды вы­шеназванной техники невозможны без изготовления высококачественных ма­сок, трафаретов, лекал из бумаги, карто­на и синтетических планок.

В заключение разбора приемов гра­фического исполнения перспективы следует сказать, что самым распростра­ненным методом графического построе­ния перспективного чертежа является линейная техника с использованием ра-пидографа, выявлением собственных и падающих теней способами заливки, штриховки, графического или полигра­фического тангира. Для заливки и штриховки используются рапидографы с толстыми иглами и фломастеры с толстыми фетрами. Для моделирования те­ней с помощью тангирных поверхностей используются листы летрасета, фото-тангир и аппликативные пленки.

Угловая перспектива с одной или двумя точками схода— случай постро­ения перспективного чертежа, при кото­ром картина располагается под некото­рым углом к плоскостям фасада изобра­жаемого здания. В архитектурной гра­фике наиболее распространенным при­емом построения перспективного черте­жа такого рода является способ архитек­торов.

Построение с двумя точками схода (Fj и F2) — картина проводится через одно из ребер объекта таким образом, чтобы вертикальное ребро, оставаясь в плоскости картины, сохраняло свою на­туральную величину и, следовательно, могло считаться линией натуральных величин (см. рис. 31, 1). Для построения остальных ребер объекта их перемещают в плане в направлениях, параллельных фасадам здания, до совмещения с карти­ной. Полученные точки переносят на картину и откладывают натуральные ве­личины ребер здания, после чего из по­строенных точек проводят прямые в одну из двух точек схода, пересечение которых с вертикалями определяет ве­личину каждого ребра [18, с. 245—266].

Требуемая величина вертикалей на картине определяется откладыванием отрезков, взятых на основании картины, или от принятой на плане (в ортого­нальном чертеже) и на картине услов­ной точки отсчета.

Построение с одной точкой схода (Fj) — аналогично с предыдущим, в ко­тором для удобства построения исполь­зуется одна точка схода. Построение отличается тем, что до совмещения с картиной (К) перемещаются несколько ребер формы, что делается не только для определения их истинной верти­кальной величины, но для получения системы точек, с помощью которых на картине получаются косоугольные про­екции фасадов здания, необходимые для построения формы с помощью точ­ки схода Fv

Необходимо отметить, что использо­вание двух точек схода в угловой перс­пективе всегда повышает точность пост­роения, приводит к меньшим графичес­ким погрешностям. Использование од­ной точки схода целесообразно лишь в тех случаях, когда в процессе построе­ния нет возможности зафиксировать две точки схода и на листе бумаги в преде­лах картинной плоскости можно разме­стить лишь точку схода Fv Тогда логич­но, используя реальные возможности, применять построение с одной точкой схода.

В архитектурной графике реального и учебного проектирования для изобра­жения объектов со сравнительно слож­ной объемной и планировочной структу­рой целесообразно использовать угловую перспективу с двумя (или одной) точка­ми схода. При таком способе перспектив­ного изображения легче подобрать опти­мальное положение картины (К), выб­рать такую точку зрения (5) и расстоя­ние от зрителя до объекта (sp), которые наиболее полно отражали бы характер­ные точки обозрения, наивыгоднейшие ракурсы здания.

Примером таких постро­ений перспективы могут быть работы виднейших мастеров русской и европейской классики, мастеров новаторской ар­хитектуры 1920—1930-х гг., современных мастеров архитектуры. Каждый из этих перспективных чертежей показывает наиболее выигрышную точку зрения на объект, раскрывает в выразительных пер­спективных ракурсах форму, пластичес­кий рисунок, композицию сооружения. Графика исполнения таких чертежей ме­няется в зависимости от назначения чер­тежа. Если автору необходимо выяснить с помощью построения перспективного чертежа какие-либо вопросы проектиро­вания, то перспектива может быть испол­нена в карандаше или в тушевой линей­ной графике (рис. 33, 1).

Если перспектива выполняет задачи, демонстрации проектного решения, то языком графического исполнения слу­жит использование тона или цвета (см. рис. 32, 2, 3, 4). Немалую роль в испол­нении перспективного чертежа играет стиль графической документации, свой­ственный конкретному историческому периоду.

Так, все перспективы мастеров новаторской архитектуры 1920—1930-х гг. отличались аскетизмом графических приемов. Они исполнялись или в ли­нейной графике с заливкой, или в лако­ничной и простой тональной графике. Исключение составляли перспективы, авторы которых в своих архитектурных замыслах активно использовали цвет. Такие примеры характерны для творчес­ких работ В. Кринского, К. Мельникова, И. Леонидова и др. В учебной графике избрание того или иного технического приема исполнения перспективного чер­тежа должно четко координироваться с характером задач данного графического задания и отвечать определенным целям данного периода обучения.

На младших курсах архитектурной школы целесообразно линейное постро­ение перспективы с легкой отмывкой собственных и падающих теней. Такая техника позволяет сохранить много­трудный процесс графического построе­ния деталей перспективы, а после обве­дения тушью видимых деталей формы легко проследить вспомогательный ап­парат линейного построения, вычерчен­ный в карандаше.

На старших курсах перспективный чертеж строится в лаконичной линей­ной графике с моделировкой формы в технике тушевой отмывки с применени­ем цвета. Возможны и другие варианты графического исполнения, например по­краска гуашью. В целом графика перс­пективы не может существовать обособ­ленно от стиля исполнения всего комп­лекта проектных чертежей.

При исполнении перспективного чертежа СОВЕТУЕМ: 1) с особым вни­манием отнестись к компоновке эскиз­ного чертежа, где обязательно должны быть вычерчены ортогональные проекции объекта в М 1:100; 1:200 (план или совмещенные поэтажные планы, фасады — основной и боковой разрезы). Выб­рать на эскизном чертеже варианты по­ложения картины (К), наиболее рацио­нальное расположение точек зрения (S), главной точки картины (Р), определить положение точек схода (fj и F2), точки схода диагоналей (D).

Выстроить на эс­кизном чертеже ряд эскизных проб, оп­ределяющих наиболее выгодные ракур­сы перспективного изображения объек­та, которые строятся с картины с пере­носом размерных показателей без уве­личения (М 1:1) или с увеличением (М 2:1; 3:1); 2) помнить, что точка зрения (5) не должна находиться слишком близко или слишком далеко от объекта и, следовательно, от картины. Опти­мальное расстояние (Sp) точки зрения (5) от картины (К) не должно превы­шать 1—1, 5 Н, где Н — максимальная высота объекта (при его вертикальной композиции) или 1—1, 5 L, где L мак­симальная ширина объекта (при его го­ризонтальной композиции).

Нарушение этих параметров приводит к искажению перспективной проекции (при близком положении точки 5) или к вялости ее ракурсов (при далеком положении точ­ки 5); 3) помнить, что нецелесообразно строить чистовой перспективный чер­теж, механически увеличивая эскиз. Ка­чественное построение получается толь­ко при построении перспективы с пла­на, когда каждый размер берется в соот­ветствии с показателями на картине (К).

Помнить, что сначала нужно ограничить рамки эскизного кадра, пропорции кото­рого должны соответствовать пропорци­ям перспективного чертежа. Для постро­ения качественной перспективы необхо­димо, чтобы размеры кадра были крат­ны по отношению к пропорциям перс­пективного изображения. Если кадр не составляет по своим горизонтальным размерам 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6 таких же размеров перспективного чертежа, то картину с отметками горизонтальной ве­личины кадра перемещают вдоль главного луча параллельно самой себе до та­кого положения, когда размеры кадра достигают требуемой величины. Полу­чив новое положение картины, опреде­ляют расстояние до вновь полученных точек схода и начинают переносить не­обходимые для построения размерные показатели, увеличивая их в 2, 3, 4, 5 или в 6 раз (в соответствии с вновь по­лученными пропорциональными разме­рами кадра). Любое перенесение некрат­ных по размеру показателей величины кадра приводит к ошибкам.

При исполнении перспективного чертежа НЕ СОВЕТУЕМ: 1) избирать горизонтальный угол зрения на объект между крайними лучами зрения в плане менее 20° и более 50°; 2) избирать такое положение точки зрения (5), при кото­ром вертикальный угол зрения (отсчи­тываемый от перпендикуляра, проведен­ного к картине, т. е. от главного луча зрения) превышает 40°; 3) избирать вы­соту горизонта больше высоты среднего человеческого роста, т. е. больше 1, 6—1, 8 м от уровня земли. Такая рекоменда­ция не относится к случаям, когда наме­ренно избирается точка зрения с птичь­его полета (так называемая «птичка»), или когда необходима точка зрения на объект снизу — в случаях его положе­ния на высоком постаменте или возвы­шенном рельефе.

Требования к технике исполнения архитектурного чертежа

1)Следить за удобством и чистотой рабочего места. Рядом с подрамником и чертежной доской держать только те инструменты и чертежные приспособления, которые нужны на данном этапе работы.

2) Следить за тем, чтобы поверхность чертежного листа была идеально ровной и чистой. Для этого необходимо: закрывать бумагой или калькой те участки чертежа, на которых в данный момент не производится работа;

содержать в идеальной чистоте рабо­чую поверхность (прилегающую к бума­ге) угольников, рейсшин, линеек, лекал. Если эти инструменты загрязнены, то их надо отмыть с мылом, а деревянные инструменты почистить резинкой.

3) Исполнять чертеж только хорошо заточенными карандашами (простым и механическими) или с использованием микрографов с тонкими грифелями и маркировкой 0,3 мм; 0,5 мм; 0,7 мм. Ис­пользовать циркули и измерители с ос­трыми иглами, средней по усилиям за­тяжкой винта в шарнире.

4) Обводку тушью карандашного чертежа осуществлять в зависимости от качества бумаги и назначения чертежа следующими инструментами: ортого­нальные, аксонометрические, перспек­тивные чертежи, выполняемые на круп­нозернистой бумаге, обводить тушью с помощью рейсфедеров. Для обводки чертежей, выполняемых на гладкой мел­кофактурной бумаге или кальке использовать рапидографы. Для обводки линий разной толщины применяются сле­дующие рапидографы:

для обводки основных линий — ра­пидографы с толщиной оголовника 0,3 или 0,5 мм (0,25 или 0,35 мм);

для обводки мелких шрифтовых надписей, цифр, размерных линий, ри­сунка антуража — рапидографы с толщиной оголовника 0,1; 0,2 мм (0,13; 0,15; 0,18; 0,25 мм);

для обводки разрезных линий — ра­пидографы с толщиной оголовника 0,7 мм (0,8 или 1,0 мм);

для крупных надписей заглавия в штампах использовать рапидографы с толщиной оголовника 0,25; 0,3; 0,35 мм.

Для графического исполнения про­ектного чертежа необходимо не только ремесленное владение приемами и пра­вилами черчения, но и глубокое пони­мание целей и задач каждого чертежно­го документа. Главное в этом процес­се — осознанные усилия выявления раз­личных стадий проектного замысла в максимально простой и выразительной графической форме.

Архитектор-проектировщик, уча­щийся архитектурной школы стремятся к овладению разнообразными средства­ми изображения, приемами эскизирования и черчения именно для того, чтобы в каждом конкретном случае проектной и учебной практики применять для вы­ражения своих идей самые эффектив­ные формы графического изображения. Большую роль в проектной работе иг­рает умение рисовать — легко и содержательно выражать на бумаге свои фантазии, точно и выразительно офор­млять с помощью рисунка проектный чертеж.

Источник: studopedia.ru

Проекция (геометрия)

Отображение из пространства в себя называется проекцией если

Проекция из трёхмерного пространства на плоскость

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной проекции.

Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это аксонометрическая проекция.

• При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае — когда отрезок лежит на проекционном луче — в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
• Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
• Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае — в отрезок или окружность).

Проекция из произвольного пространства на его подпространство

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) — широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также — очень широко — при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).

Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).

Ортогональная проекция на прямую и на направление

Чаще всего используется ортогональная проекция.

Ортогональная проекция точек на прямую

Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операция проектирования, и в отношении её результата (при операции проектирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроектировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

Неортогональная проекция на прямую и на направление

Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.

Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае — вместо плоскости другую прямую, в случае n-мерного пространства — гиперплоскость размерности (n-1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.

В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.

Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.

• Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.

Тем не менее понятие неортогонального проектирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).

Источник: dic.academic.ru