Момент инерции в строительстве

В прошлый раз мы поговорили о такой величине, как статические моменты. Теперь можем двигаться дальше: сегодня на повестке моменты инерции.

Внимательный читатель уже может возмутиться:
“И зачем мы изучаем эти моменты? Какой в этом прок?
Причём же тут инерция, если сопромат — по сути статика?»

На первый вопрос у меня есть два ответа — краткий и не очень. Пока ограничусь кратким:

Статические моменты и моменты инерции широко используются для определения нормальных и касательных напряжений, определении прогибов и деформаций конструкций. Читая о том, как все это вычислить, вы будете сталкиваться с геометрическими характеристиками постоянно. Поэтому лучше сразу понимать, о чем идёт речь, а, при необходимости, подсматривать тут.

В изгибаемом элементе от момента сил возникают напряжения, для определения которых нам и нужен момент инерции (хотя и опосредованно. Впрочем, если вы читали статью про моменты, то это уже знаете). При этом сам элемент деформируется, и величина этих деформаций (прогибов) также определяется с помощью момента инерции.

Задача 3

Для ответа на второй вопрос перейдем уже к моментам инерции.

Что такое момент инерции

Суть и смысл моментов инерции в общем случае походит на статические моменты, однако корни нужно искать в описании вращения тела. Для вращательного движения одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Рассмотрим вращающееся тело, как совокупность точек с предельно малыми размером и массой, которые находятся на расстояниях Ri (от нуля до R):

Где:
T — кинетическая энергия;
J — момент инерции;
m — масса;
v — скорость;
w — угловая скорость;
R — радиус;

Тут видно, что также, как в формуле кинетической энергии при линейном движении мера инертности — масса, при вращательном движении мера инертности — момент инерции. Впрочем, я немного забегаю вперёд.

Угловая скорость вращающегося тела — угол поворота, пройденный за единицу времени

Тут начальный угол поворота φ0 может быть равен нулю, если мы рассматриваем начало движения.

Линейная скорость тела:

Ускорение вращающегося тела (а нас интересует нормальное) тогда:

Я не буду затрагивать динамику вращающегося тела, и расскажу только о жизненно необходимом.

Сила (которая по второму закону Ньютона — произведение массы на ускорение):

И вот тут вспомним уже третий закон Ньютона — действию всегда есть равное и противоположное противодействие, а значит действию найденного нами момента будет сопротивляться — момент инерции.

Вспомним также, что, как и со статическими моментами, на разные точки тела, удаленные от оси вращения на разные расстояния будет действовать разный момент, а общий момент можно получить их просуммировав:

При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. Но, как я уже показал, рассказывая про статические моменты, массу точек для изотропных (в данном случае имеющих одинаковую плотность) объектов можно выносить за скобки и рассматривать исключительно геометрию. Формула момента инерции примет следующий вид:

Момент инерции

Почему Iр? Потому что мы с вами оперировали радиусом и углом поворота (в формуле угловой скорости) — т.е. использовали полярную систему отсчета (что и демонстрирует индекс p).

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении.

Как найти момент инерции

Чтобы немного упростить себе операции со всеми этими величинами перейдем к родной и понятной системе отсчета: перпендикулярным осям X и Y. Возьмем случайное сечение стержня и рассмотрим интегралы, как мы уже делали со статическими моментами:

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третий — центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Теперь рассмотрим случай параллельного переноса осей , не вдаваясь глубоко в вычисление интегралов.

Для осей x1=x+a, y1=y+b моменты инерции будут равны:

Если вы, как и часть прочитавших эту статью перед публикацией, не имеете черного пояса и седьмого дана в интегральных преобразованиях, то:

Тут первый интеграл — Ix1, второй интеграл — Sx1, а третий раскрывается в площадь при нулевом свободном члене.

Надеюсь, понятно, что при параллельном переносе по y изменяется только ось (буква).

В последнем случае мы рассматриваем перенос по обеим осям сразу.

Где:
Ix — очевидно, момент инерции относительно оси x
Sx — статический момент сечения относительно оси y
F — площадь сечения

А теперь предположим, что некие оси x1 и y1 являются центральными, тогда и выражения упрощаются и принимают вид:

Немного проясню обозначение осей:

Центральными называются оси, проходящие через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю.

Главными называются оси, в которых центробежный момент инерции (Ixy) равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

И теперь можно уже коснуться практики: речь о моментах инерции простых сечений.

Момент инерции прямоугольника

Определим осевые моменты инерции прямоугольника со сторонами b и h относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести. В качестве элементарной площадки dA возьмем полоску шириной b и высотой . Тогда будем иметь:

Не прибегая к вычислениям, замечу, что для момента инерции относительно оси Y изменится только положение сторон b и h. Следовательно:

Момент инерции квадрата

Прямоугольник со сторонами b=h=a. Следовательно:

Момент инерции круга

Тут воспользуемся полярным моментом инерции относительно центра круга. Определим его, как сумму колец с толщиной dp:

Момент инерции кольца

А здесь – явная аналогия с моментом инерции круга:

Как мы видим, момент инерции кольца это разность моментов инерции большего и меньшего кругов.

Пример нахождения момента инерции тавра

Найдём осевые моменты инерции тавра (рисунок 5), приведенного на рисунке, относительно центральных осей xc и yc.

Рисунок 8. Тавр, положение осей

Так как оси x1 и x2 являются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно оси xc воспользуемся формулой.

Момент инерции относительно оси yc получим путем сложения моментов инерции простых фигур относительно этой же оси, так как ось yc является общей центральной осью для простых фигур и для всей фигуры.

Центробежный момент инерции относительно осей xc и yc равен нулю, так как ось инерции yc является главной осью (осью симметрии фигуры).

Обобщение и подведение итогов

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении. В статике момент инерции применяется в определении прогибов, расчетах конструкций на касательные и нормальные напряжения. Момент инерции также, как и статические моменты, характеризует положение осей относительно сечения элемента. Так у нас появляются:

Центральные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю.

Главные оси, в которых центробежный момент инерции (Ixy) равен нулю, а осевые моменты инерции — максимальны. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

При этом главные и центральные оси могут совпадать!

Список использованных источников

1. Александров А.В. Сопротивление материалов: Учеб. для ВУЗов/ А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; под ред. А.В. Александрова – 3-е изд. испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 560 с.: ил. ISBN 5-06-003732-0
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов – Учеб. для техн. вузов – 5-е изд. перераб. и дополн. – М.: Высш. шк., 1989 – 624 с. ил.
3. Г.И. Беликов. Геометрические характеристики поперечных сечений стержней. Учебно-практическое пособие. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2015. — 56 с. — ISBN 978-5-98276-752-3

Источник: stroikaveka.org

Моменты инерции плоских сечений

Различают осевые, полярные и центробежные моменты инерции сечений.

Осевым моментом инерции сечения относительно какой-либо оси называется сумма произведений элементарных произведений площадей dА па квадрат их расстояний до данной оси (см. рис. 8.1):

Полярным моментом инерции сечения относительно какого-либо полюса называется сумма произведений элементарных площадей dА на квадраты их расстояний до этого полюса’.

Из рис. 8.1 видно, что р 2 = у 1 + z 1 и следовательно,

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат (например, z и у, как показано на рис. 8.1) называется сумма произведений элементарных площадей cL4 на их расстояния до этих осей:

Из рис. 8.1 при у = Ус + Уу z = z c + 2 i осевой момент инерции

можно записать и, аналогично,

Формулы (8.12) и (8.13) используются при определении моментов инерции при параллельном переносе осей.

Если при этом рассматриваемое плоское сечение можно разбить на ряд простейших геометрических фигур, формулы (8.12) и (8.13) принимают вид

где а, и bj — расстояния от центров тяжести составляющих сечение фигур до осей 2 и у.

Из формул (8.12) и (8.13) следует, что можно ограничиться изучением изменения моментов инерции относительно центральных осей. Учитывая это и приняв начало координат 0, найдем моменты инерции относительно осей уj и zv повернутых по отношению к первоначальным осям у и z на угол 0 (рис. 8.2).

По формулам преобразования координат запишем:

Подставив в выражениях (8.15)—(8.17)

Центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями, моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Приравняв нулю последнее уравнение из (8.18), получим

откуда найдем два взаимно перпендикулярных главных направления I и II.

Осевые моменты относительно этих осей (главные моменты инерции) будут являться наименьшим и наибольшим моментами инерции относительно всех возможных центральных осей:

Часто вместо формулы (8.19), определяющей положение главных осей, пользуются формулами

где — угол между осью г и осью, относительно которой момент инерции принимает максимальное значение, а 02 — угол между осью г и осью, относительно которой момент инерции принимает минимальное значение.

На основе математического анализа формул (8.18)—(8.21) можно сделать следующие обобщения.

• 1. Главная ось, относительно которой главный момент инерции принимает максимальное значение, составляет меньший угол с той из осей, относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.
• 2. Относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю.
• 3. Взаимно перпендикулярные центральные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, всегда являются главными осями инерции.
• 4. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой.

Моменты инерции имеют размерность метр или сантиметр в четвертой степени (м 4 или см 4 ).

Источник: studme.org

Помогите понять смысл момента инерции, момента сопротивления в сравнении и на практике

наконец-то решил железно разобраться в этом вопросе. пожалуйста, поделитесь своим опытом.
вот пример, самый простой, для удобства. прямоугольник. направление осей и значения моментов инерции и сопротивления см на картинке. считал эксель, результатам верю)

интуитивно я понимаю, что согнуть этот брусок(пластина мб) будет проще вращая вокруг оси z. и очень тяжело провернуть его вокруг оси y.
собственно вопрос.
1) можно ли судить по величине момента сопротивления таким образом: чем больше W, тем сложнее его гнуть?

например, рассмотрим составное произвольное сечение (вы своими глазами его не видели), но вы знаете что Wz>Wy. этот стержень должен работать на изгиб (балка какая-то). тогда можно тупо взять и сказать что это сечение лучше расположить осью у вертикально?
надеюсь смог донести свой вопрос.

если первый вопрос я понял правильно, то дальше

2) смысл момента инерции прочувствовать не могу вообще. так что б глянул, и сравнив их значения по осям, сделать какой то практический вывод.

пожалуйста, опишите ваш процесс обработки простым языком (представьте что я школьник)

Источник: forum.dwg.ru